Номер 63, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

63. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, заданной на отрезке $[a; b]$, и осью $Ox$:

1) $f(x) = \sin x$, $[0; 2\pi]$;

2) $f(x) = \cos x$, $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$.

1) f(x) = sinx, [0; 2π]

Дано:

Функция $f(x) = \sin(x)$

Отрезок $[a; b] = [0; 2\pi]$

Найти:

Площадь $S$ фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x=0$, $x=2\pi$.

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле определенного интеграла от модуля функции:

$S = \int_a^b |f(x)| dx$

Для данной задачи имеем:

$S = \int_0^{2\pi} |\sin(x)| dx$

Необходимо учесть знак функции $\sin(x)$ на отрезке $[0; 2\pi]$:

1. На отрезке $[0; \pi]$ функция $\sin(x) \ge 0$, поэтому $|\sin(x)| = \sin(x)$.

2. На отрезке $[\pi; 2\pi]$ функция $\sin(x) \le 0$, поэтому $|\sin(x)| = -\sin(x)$.

График функции и искомая площадь изображены на рисунке:

В соответствии с этим, интеграл разбивается на два:

$S = \int_0^\pi \sin(x) dx + \int_\pi^{2\pi} (-\sin(x)) dx$

Вычислим каждый интеграл по отдельности. Первообразная для $\sin(x)$ есть $-\cos(x)$, а для $-\sin(x)$ есть $\cos(x)$.

$\int_0^\pi \sin(x) dx = [-\cos(x)]_0^\pi = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$

$\int_\pi^{2\pi} (-\sin(x)) dx = [\cos(x)]_\pi^{2\pi} = \cos(2\pi) - \cos(\pi) = 1 - (-1) = 2$

Общая площадь равна сумме площадей двух участков:

$S = 2 + 2 = 4$

Ответ: 4

2) f(x) = cosx, [-π/2; 3π/2]

Дано:

Функция $f(x) = \cos(x)$

Отрезок $[a; b] = [-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$

Найти:

Площадь $S$ фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x=-\frac{\pi}{2}$, $x=\frac{3\pi}{2}$.

Решение:

Площадь фигуры вычисляется по формуле:

$S = \int_a^b |f(x)| dx$

В данном случае:

$S = \int_{-\pi/2}^{3\pi/2} |\cos(x)| dx$

Рассмотрим знак функции $\cos(x)$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$:

1. На отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ функция $\cos(x) \ge 0$, поэтому $|\cos(x)| = \cos(x)$.

2. На отрезке $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$ функция $\cos(x) \le 0$, поэтому $|\cos(x)| = -\cos(x)$.

График функции и искомая площадь изображены на рисунке:

Разобьем интеграл на две части в соответствии со знаком функции:

$S = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(x) dx + \int_{\pi/2}^{3\pi/2} (-\cos(x)) dx$

Вычислим каждый интеграл. Первообразная для $\cos(x)$ есть $\sin(x)$, а для $-\cos(x)$ есть $-\sin(x)$.

$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos(x) dx = [\sin(x)]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2}) = 1 - (-1) = 2$

$\int_{\pi/2}^{3\pi/2} (-\cos(x)) dx = [-\sin(x)]_{\pi/2}^{3\pi/2} = -\sin(\frac{3\pi}{2}) - (-\sin(\frac{\pi}{2})) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$

Общая площадь равна сумме площадей:

$S = 2 + 2 = 4$

Ответ: 4