Номер 58, страница 26 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

При каких значениях x выполняются неравенства (58—59):

58.1) $\int_{0}^{x} 3dt > 1$;

2) $\int_{x}^{x^2} 4dt < 0?$

58.1) 1)

Решение

Дано неравенство: $\int_0^x 3dt > 1$.

Для решения этого неравенства сначала вычислим определенный интеграл в левой части. Первообразной для подынтегральной функции $f(t) = 3$ является функция $F(t) = 3t$.

Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

$\int_0^x 3dt = [3t]_0^x = 3 \cdot x - 3 \cdot 0 = 3x$.

Теперь исходное неравенство можно переписать в виде:

$3x > 1$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 3:

$x > \frac{1}{3}$.

Следовательно, неравенство выполняется для всех $x$, принадлежащих интервалу от $\frac{1}{3}$ до $+\infty$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{3}; +\infty)$.

2)

Решение

Дано неравенство: $\int_x^{x^2} 4dt < 0$.

Вычислим определенный интеграл. Первообразной для подынтегральной функции $f(t) = 4$ является функция $F(t) = 4t$.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_x^{x^2} 4dt = [4t]_x^{x^2} = 4 \cdot x^2 - 4 \cdot x = 4x^2 - 4x$.

Подставим полученное выражение в неравенство:

$4x^2 - 4x < 0$.

Разделим обе части неравенства на 4 (знак неравенства не меняется, так как 4 > 0):

$x^2 - x < 0$.

Разложим левую часть на множители:

$x(x - 1) < 0$.

Решим это квадратичное неравенство методом интервалов. Корни соответствующего уравнения $x(x - 1) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Проверим знак выражения $x(x - 1)$ на каждом интервале:

• На интервале $(-\infty; 0)$, например при $x = -1$, имеем $(-1)(-1-1) = 2 > 0$.
• На интервале $(0; 1)$, например при $x = 0.5$, имеем $0.5(0.5-1) = -0.25 < 0$.
• На интервале $(1; +\infty)$, например при $x = 2$, имеем $2(2-1) = 2 > 0$.

Неравенство выполняется, когда выражение отрицательно, то есть на интервале $(0; 1)$.

Заметим также, что подынтегральная функция $f(t)=4$ всегда положительна. Интеграл от положительной функции может быть отрицательным только в том случае, если верхний предел интегрирования меньше нижнего, то есть $x^2 < x$. Это неравенство равносильно $x^2 - x < 0$, что приводит к тому же решению.

Ответ: $x \in (0; 1)$.