Номер 53, страница 26 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

53. 1) $\int_{-1}^{0} \frac{1-x^2}{1-x} dx;$

2) $\int_{0}^{1} \frac{16-x^4}{2-x} dx;$

3) $\int_{1}^{2} \frac{1-8x^3}{1-2x} dx;$

4) $\int_{0}^{2} \frac{x^3+2x^2+4x+3}{x+1} dx.$

1)

Решение

Для вычисления интеграла $\int_{-1}^{0} \frac{1-x^2}{1-x} dx$ сначала упростим подынтегральную функцию.Числитель $1-x^2$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$1-x^2 = (1-x)(1+x)$

Подставим это в подынтегральное выражение:

$\frac{1-x^2}{1-x} = \frac{(1-x)(1+x)}{1-x} = 1+x$

Упрощение возможно, так как на отрезке интегрирования $[-1, 0]$ знаменатель $1-x$ не равен нулю.Теперь интеграл принимает вид:

$\int_{-1}^{0} (1+x) dx$

Найдем первообразную для функции $f(x) = 1+x$.

$F(x) = \int (1+x) dx = x + \frac{x^2}{2}$

Применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$:

$\int_{-1}^{0} (1+x) dx = \left. \left(x + \frac{x^2}{2}\right) \right|_{-1}^{0} = (0 + \frac{0^2}{2}) - (-1 + \frac{(-1)^2}{2}) = 0 - (-1 + \frac{1}{2}) = 0 - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

2)

Решение

Рассмотрим интеграл $\int_{0}^{1} \frac{16-x^4}{2-x} dx$.Упростим подынтегральную функцию, разложив числитель на множители. Сначала используем формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$16-x^4 = (4)^2 - (x^2)^2 = (4-x^2)(4+x^2)$

Затем разложим $4-x^2$ еще раз по той же формуле:

$4-x^2 = (2-x)(2+x)$

Таким образом, числитель равен:

$16-x^4 = (2-x)(2+x)(4+x^2)$

Теперь подынтегральная функция упрощается (знаменатель $2-x \neq 0$ на отрезке $[0, 1]$):

$\frac{16-x^4}{2-x} = \frac{(2-x)(2+x)(4+x^2)}{2-x} = (2+x)(4+x^2) = 8 + 2x^2 + 4x + x^3 = x^3 + 2x^2 + 4x + 8$

Вычислим интеграл от полученного многочлена:

$\int_{0}^{1} (x^3 + 2x^2 + 4x + 8) dx$

Первообразная равна:

$F(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} + 8x = \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + 2x^2 + 8x$

По формуле Ньютона-Лейбница:

$\left. \left(\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + 2x^2 + 8x\right) \right|_{0}^{1} = \left(\frac{1^4}{4} + \frac{2 \cdot 1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 + 8 \cdot 1\right) - (0)$

$= \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + 2 + 8 = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + 10 = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} + \frac{120}{12} = \frac{3+8+120}{12} = \frac{131}{12}$

Ответ: $\frac{131}{12}$

3)

Решение

Нужно вычислить интеграл $\int_{1}^{2} \frac{1-8x^3}{1-2x} dx$.Упростим подынтегральную функцию. Числитель $1-8x^3$ является разностью кубов: $1^3 - (2x)^3$.Применим формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

$1-8x^3 = (1-2x)(1^2 + 1 \cdot 2x + (2x)^2) = (1-2x)(1+2x+4x^2)$

Подынтегральное выражение упрощается (знаменатель $1-2x \neq 0$ на отрезке $[1, 2]$):

$\frac{1-8x^3}{1-2x} = \frac{(1-2x)(1+2x+4x^2)}{1-2x} = 4x^2+2x+1$

Интеграл принимает вид:

$\int_{1}^{2} (4x^2+2x+1) dx$

Находим первообразную:

$F(x) = \frac{4x^3}{3} + \frac{2x^2}{2} + x = \frac{4x^3}{3} + x^2 + x$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\left. \left(\frac{4x^3}{3} + x^2 + x\right) \right|_{1}^{2} = \left(\frac{4 \cdot 2^3}{3} + 2^2 + 2\right) - \left(\frac{4 \cdot 1^3}{3} + 1^2 + 1\right)$

$= \left(\frac{4 \cdot 8}{3} + 4 + 2\right) - \left(\frac{4}{3} + 1 + 1\right) = \left(\frac{32}{3} + 6\right) - \left(\frac{4}{3} + 2\right)$

$= \frac{32}{3} + 6 - \frac{4}{3} - 2 = \frac{32-4}{3} + (6-2) = \frac{28}{3} + 4 = \frac{28}{3} + \frac{12}{3} = \frac{40}{3}$

Ответ: $\frac{40}{3}$

4)

Решение

Вычислим интеграл $\int_{0}^{2} \frac{x^3+2x^2+4x+3}{x+1} dx$.Чтобы упростить подынтегральную функцию, разделим многочлен в числителе на многочлен в знаменателе. Можно использовать деление "уголком" или сгруппировать слагаемые в числителе:

$x^3+2x^2+4x+3 = x^3+x^2+x^2+x+3x+3$

$= x^2(x+1) + x(x+1) + 3(x+1)$

$= (x^2+x+3)(x+1)$

Тогда подынтегральная функция (при $x \neq -1$, что выполняется на отрезке $[0, 2]$) равна:

$\frac{(x^2+x+3)(x+1)}{x+1} = x^2+x+3$

Теперь вычисляем интеграл от полученного многочлена:

$\int_{0}^{2} (x^2+x+3) dx$

Находим первообразную:

$F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 3x$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\left. \left(\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 3x\right) \right|_{0}^{2} = \left(\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 3 \cdot 2\right) - (0)$

$= \frac{8}{3} + \frac{4}{2} + 6 = \frac{8}{3} + 2 + 6 = \frac{8}{3} + 8 = \frac{8}{3} + \frac{24}{3} = \frac{32}{3}$

Ответ: $\frac{32}{3}$