Страница 26 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

51. 1) $\int_{3}^{4} \frac{dx}{(x-2)^2};$

2) $\int_{-2}^{-1} \frac{dx}{(x+3)^2};$

3) $\int_{0}^{2} \frac{dx}{(0.5x+1)^4};$

4) $\int_{0}^{5} \frac{dx}{(2-0.2x)^5}.$

1)

Решение:

Для вычисления определенного интеграла $\int_3^4 \frac{dx}{(x-2)^2}$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ - первообразная для функции $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{(x-2)^2} = (x-2)^{-2}$.

Используем табличный интеграл для степенной функции $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$. В данном случае $u = x-2$ и $du = dx$.

$F(x) = \int (x-2)^{-2} dx = \frac{(x-2)^{-2+1}}{-2+1} = \frac{(x-2)^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x-2}$.

Теперь подставим пределы интегрирования:

$\int_3^4 \frac{dx}{(x-2)^2} = [-\frac{1}{x-2}]_3^4 = (-\frac{1}{4-2}) - (-\frac{1}{3-2}) = (-\frac{1}{2}) - (-1) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2)

Решение:

Вычислим интеграл $\int_{-2}^{-1} \frac{dx}{(x+3)^2}$.

Найдем первообразную для $f(x) = \frac{1}{(x+3)^2} = (x+3)^{-2}$.

$F(x) = \int (x+3)^{-2} dx = \frac{(x+3)^{-2+1}}{-2+1} = \frac{(x+3)^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x+3}$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-2}^{-1} \frac{dx}{(x+3)^2} = [-\frac{1}{x+3}]_{-2}^{-1} = (-\frac{1}{-1+3}) - (-\frac{1}{-2+3}) = (-\frac{1}{2}) - (-1) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

3)

Решение:

Вычислим интеграл $\int_0^2 \frac{dx}{(0,5x+1)^4}$.

Найдем первообразную для $f(x) = \frac{1}{(0,5x+1)^4} = (0,5x+1)^{-4}$.

Используем формулу $\int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a} \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C$. Здесь $a=0,5$, $b=1$, $n=-4$.

$F(x) = \int (0,5x+1)^{-4} dx = \frac{1}{0,5} \cdot \frac{(0,5x+1)^{-4+1}}{-4+1} = 2 \cdot \frac{(0,5x+1)^{-3}}{-3} = -\frac{2}{3(0,5x+1)^3}$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_0^2 \frac{dx}{(0,5x+1)^4} = [-\frac{2}{3(0,5x+1)^3}]_0^2 = (-\frac{2}{3(0,5 \cdot 2+1)^3}) - (-\frac{2}{3(0,5 \cdot 0+1)^3})$.

$= (-\frac{2}{3(1+1)^3}) - (-\frac{2}{3(1)^3}) = (-\frac{2}{3 \cdot 2^3}) - (-\frac{2}{3}) = (-\frac{2}{3 \cdot 8}) + \frac{2}{3} = -\frac{2}{24} + \frac{2}{3} = -\frac{1}{12} + \frac{8}{12} = \frac{7}{12}$.

Ответ: $\frac{7}{12}$.

4)

Решение:

Вычислим интеграл $\int_0^5 \frac{dx}{(2-0,2x)^5}$.

Найдем первообразную для $f(x) = \frac{1}{(2-0,2x)^5} = (2-0,2x)^{-5}$.

Используем формулу $\int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a} \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C$. Здесь $a=-0,2$, $b=2$, $n=-5$.

$F(x) = \int (2-0,2x)^{-5} dx = \frac{1}{-0,2} \cdot \frac{(2-0,2x)^{-5+1}}{-5+1} = -5 \cdot \frac{(2-0,2x)^{-4}}{-4} = \frac{5}{4(2-0,2x)^4}$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_0^5 \frac{dx}{(2-0,2x)^5} = [\frac{5}{4(2-0,2x)^4}]_0^5 = (\frac{5}{4(2-0,2 \cdot 5)^4}) - (\frac{5}{4(2-0,2 \cdot 0)^4})$.

$= (\frac{5}{4(2-1)^4}) - (\frac{5}{4(2)^4}) = \frac{5}{4 \cdot 1^4} - \frac{5}{4 \cdot 16} = \frac{5}{4} - \frac{5}{64} = \frac{5 \cdot 16}{64} - \frac{5}{64} = \frac{80-5}{64} = \frac{75}{64}$.

Ответ: $\frac{75}{64}$.

52. 1) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \frac{x}{2} dx;$

2) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \sin^2 \frac{x}{2} dx;$

3) $\int_0^{\pi} 3\cos^2 2x dx;$

4) $\int_0^{\frac{\pi}{8}} \frac{1}{4} \sin^2 4x dx.$

1)

Дано:

Вычислить определенный интеграл $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \frac{x}{2} dx$.

Найти:

Значение данного интеграла.

Решение:

Для вычисления интегралов, содержащих квадрат косинуса, применяется тригонометрическая формула понижения степени: $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

В данном случае, $\alpha = \frac{x}{2}$, тогда $2\alpha = 2 \cdot \frac{x}{2} = x$. Применим формулу к подынтегральной функции:

$\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$

Подставим полученное выражение в интеграл:

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \frac{x}{2} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos x}{2} dx = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos x) dx$

Найдем первообразную для функции $(1 + \cos x)$. Первообразная от $1$ есть $x$, а первообразная от $\cos x$ есть $\sin x$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$:

$\frac{1}{2} [x + \sin x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left( \left( \frac{\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{2} \right) - (0 + \sin 0) \right)$

Мы знаем, что $\sin\frac{\pi}{2} = 1$ и $\sin 0 = 0$. Подставим эти значения:

$\frac{1}{2} \left( \left( \frac{\pi}{2} + 1 \right) - (0 + 0) \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 1 \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$.

2)

Дано:

Вычислить определенный интеграл $\int_{-\frac{\pi}{2}}^0 \sin^2 \frac{x}{2} dx$.

Найти:

Значение данного интеграла.

Решение:

Для вычисления интегралов, содержащих квадрат синуса, применяется тригонометрическая формула понижения степени: $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.

В данном случае, $\alpha = \frac{x}{2}$, тогда $2\alpha = x$. Применим формулу к подынтегральной функции:

$\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}$

Подставим полученное выражение в интеграл:

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^0 \sin^2 \frac{x}{2} dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^0 \frac{1 - \cos x}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^0 (1 - \cos x) dx$

Найдем первообразную для функции $(1 - \cos x)$. Первообразная от $1$ есть $x$, а первообразная от $\cos x$ есть $\sin x$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{1}{2} [x - \sin x]_{-\frac{\pi}{2}}^0 = \frac{1}{2} \left( (0 - \sin 0) - \left( -\frac{\pi}{2} - \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) \right) \right)$

Мы знаем, что $\sin 0 = 0$ и $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$. Подставим эти значения:

$\frac{1}{2} \left( (0 - 0) - \left( -\frac{\pi}{2} - (-1) \right) \right) = \frac{1}{2} \left( 0 - \left( -\frac{\pi}{2} + 1 \right) \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$.

3)

Дано:

Вычислить определенный интеграл $\int_0^{\pi} 3\cos^2 2x dx$.

Найти:

Значение данного интеграла.

Решение:

Вынесем константу $3$ за знак интеграла:

$3 \int_0^{\pi} \cos^2 2x dx$

Снова используем формулу понижения степени $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

В данном случае, $\alpha = 2x$, тогда $2\alpha = 4x$. Применим формулу:

$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos(4x)}{2}$

Подставим в интеграл:

$3 \int_0^{\pi} \frac{1 + \cos(4x)}{2} dx = \frac{3}{2} \int_0^{\pi} (1 + \cos(4x)) dx$

Найдем первообразную для функции $(1 + \cos(4x))$. Первообразная от $1$ есть $x$, а первообразная от $\cos(4x)$ есть $\frac{1}{4}\sin(4x)$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{3}{2} \left[ x + \frac{1}{4}\sin(4x) \right]_0^{\pi} = \frac{3}{2} \left( \left( \pi + \frac{1}{4}\sin(4\pi) \right) - \left( 0 + \frac{1}{4}\sin(4 \cdot 0) \right) \right)$

Мы знаем, что $\sin(4\pi) = 0$ и $\sin 0 = 0$. Подставим эти значения:

$\frac{3}{2} \left( (\pi + 0) - (0 + 0) \right) = \frac{3}{2} \pi$

Ответ: $\frac{3\pi}{2}$.

4)

Дано:

Вычислить определенный интеграл $\int_0^{\frac{\pi}{8}} \frac{1}{4} \sin^2 4x dx$.

Найти:

Значение данного интеграла.

Решение:

Вынесем константу $\frac{1}{4}$ за знак интеграла:

$\frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{8}} \sin^2 4x dx$

Используем формулу понижения степени для синуса $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.

В данном случае, $\alpha = 4x$, тогда $2\alpha = 8x$. Применим формулу:

$\sin^2 4x = \frac{1 - \cos(8x)}{2}$

Подставим в интеграл:

$\frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{8}} \frac{1 - \cos(8x)}{2} dx = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{8}} (1 - \cos(8x)) dx = \frac{1}{8} \int_0^{\frac{\pi}{8}} (1 - \cos(8x)) dx$

Найдем первообразную для функции $(1 - \cos(8x))$. Первообразная от $1$ есть $x$, а первообразная от $\cos(8x)$ есть $\frac{1}{8}\sin(8x)$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{1}{8} \left[ x - \frac{1}{8}\sin(8x) \right]_0^{\frac{\pi}{8}} = \frac{1}{8} \left( \left( \frac{\pi}{8} - \frac{1}{8}\sin\left(8 \cdot \frac{\pi}{8}\right) \right) - \left( 0 - \frac{1}{8}\sin(8 \cdot 0) \right) \right)$

Мы знаем, что $\sin(\pi) = 0$ и $\sin 0 = 0$. Подставим эти значения:

$\frac{1}{8} \left( \left( \frac{\pi}{8} - \frac{1}{8} \cdot 0 \right) - (0 - 0) \right) = \frac{1}{8} \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{64}$

Ответ: $\frac{\pi}{64}$.

53. 1) $\int_{-1}^{0} \frac{1-x^2}{1-x} dx;$

2) $\int_{0}^{1} \frac{16-x^4}{2-x} dx;$

3) $\int_{1}^{2} \frac{1-8x^3}{1-2x} dx;$

4) $\int_{0}^{2} \frac{x^3+2x^2+4x+3}{x+1} dx.$

1)

Решение

Для вычисления интеграла $\int_{-1}^{0} \frac{1-x^2}{1-x} dx$ сначала упростим подынтегральную функцию.Числитель $1-x^2$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$1-x^2 = (1-x)(1+x)$

Подставим это в подынтегральное выражение:

$\frac{1-x^2}{1-x} = \frac{(1-x)(1+x)}{1-x} = 1+x$

Упрощение возможно, так как на отрезке интегрирования $[-1, 0]$ знаменатель $1-x$ не равен нулю.Теперь интеграл принимает вид:

$\int_{-1}^{0} (1+x) dx$

Найдем первообразную для функции $f(x) = 1+x$.

$F(x) = \int (1+x) dx = x + \frac{x^2}{2}$

Применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$:

$\int_{-1}^{0} (1+x) dx = \left. \left(x + \frac{x^2}{2}\right) \right|_{-1}^{0} = (0 + \frac{0^2}{2}) - (-1 + \frac{(-1)^2}{2}) = 0 - (-1 + \frac{1}{2}) = 0 - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

2)

Решение

Рассмотрим интеграл $\int_{0}^{1} \frac{16-x^4}{2-x} dx$.Упростим подынтегральную функцию, разложив числитель на множители. Сначала используем формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$16-x^4 = (4)^2 - (x^2)^2 = (4-x^2)(4+x^2)$

Затем разложим $4-x^2$ еще раз по той же формуле:

$4-x^2 = (2-x)(2+x)$

Таким образом, числитель равен:

$16-x^4 = (2-x)(2+x)(4+x^2)$

Теперь подынтегральная функция упрощается (знаменатель $2-x \neq 0$ на отрезке $[0, 1]$):

$\frac{16-x^4}{2-x} = \frac{(2-x)(2+x)(4+x^2)}{2-x} = (2+x)(4+x^2) = 8 + 2x^2 + 4x + x^3 = x^3 + 2x^2 + 4x + 8$

Вычислим интеграл от полученного многочлена:

$\int_{0}^{1} (x^3 + 2x^2 + 4x + 8) dx$

Первообразная равна:

$F(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} + 8x = \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + 2x^2 + 8x$

По формуле Ньютона-Лейбница:

$\left. \left(\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + 2x^2 + 8x\right) \right|_{0}^{1} = \left(\frac{1^4}{4} + \frac{2 \cdot 1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 + 8 \cdot 1\right) - (0)$

$= \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + 2 + 8 = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + 10 = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} + \frac{120}{12} = \frac{3+8+120}{12} = \frac{131}{12}$

Ответ: $\frac{131}{12}$

3)

Решение

Нужно вычислить интеграл $\int_{1}^{2} \frac{1-8x^3}{1-2x} dx$.Упростим подынтегральную функцию. Числитель $1-8x^3$ является разностью кубов: $1^3 - (2x)^3$.Применим формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

$1-8x^3 = (1-2x)(1^2 + 1 \cdot 2x + (2x)^2) = (1-2x)(1+2x+4x^2)$

Подынтегральное выражение упрощается (знаменатель $1-2x \neq 0$ на отрезке $[1, 2]$):

$\frac{1-8x^3}{1-2x} = \frac{(1-2x)(1+2x+4x^2)}{1-2x} = 4x^2+2x+1$

Интеграл принимает вид:

$\int_{1}^{2} (4x^2+2x+1) dx$

Находим первообразную:

$F(x) = \frac{4x^3}{3} + \frac{2x^2}{2} + x = \frac{4x^3}{3} + x^2 + x$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\left. \left(\frac{4x^3}{3} + x^2 + x\right) \right|_{1}^{2} = \left(\frac{4 \cdot 2^3}{3} + 2^2 + 2\right) - \left(\frac{4 \cdot 1^3}{3} + 1^2 + 1\right)$

$= \left(\frac{4 \cdot 8}{3} + 4 + 2\right) - \left(\frac{4}{3} + 1 + 1\right) = \left(\frac{32}{3} + 6\right) - \left(\frac{4}{3} + 2\right)$

$= \frac{32}{3} + 6 - \frac{4}{3} - 2 = \frac{32-4}{3} + (6-2) = \frac{28}{3} + 4 = \frac{28}{3} + \frac{12}{3} = \frac{40}{3}$

Ответ: $\frac{40}{3}$

4)

Решение

Вычислим интеграл $\int_{0}^{2} \frac{x^3+2x^2+4x+3}{x+1} dx$.Чтобы упростить подынтегральную функцию, разделим многочлен в числителе на многочлен в знаменателе. Можно использовать деление "уголком" или сгруппировать слагаемые в числителе:

$x^3+2x^2+4x+3 = x^3+x^2+x^2+x+3x+3$

$= x^2(x+1) + x(x+1) + 3(x+1)$

$= (x^2+x+3)(x+1)$

Тогда подынтегральная функция (при $x \neq -1$, что выполняется на отрезке $[0, 2]$) равна:

$\frac{(x^2+x+3)(x+1)}{x+1} = x^2+x+3$

Теперь вычисляем интеграл от полученного многочлена:

$\int_{0}^{2} (x^2+x+3) dx$

Находим первообразную:

$F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 3x$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\left. \left(\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 3x\right) \right|_{0}^{2} = \left(\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 3 \cdot 2\right) - (0)$

$= \frac{8}{3} + \frac{4}{2} + 6 = \frac{8}{3} + 2 + 6 = \frac{8}{3} + 8 = \frac{8}{3} + \frac{24}{3} = \frac{32}{3}$

Ответ: $\frac{32}{3}$

54. 1) $\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)};$

2) $\int_{\frac{2\pi}{3}}^{\pi} \frac{dx}{\sin^2\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right)};$

3) $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} \cos\left(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{12}\right) \cdot \sin\left(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{12}\right) dx;$

²4) $\int_{0}^{\pi} \left(1 - 2\cos^2\frac{x}{6}\right) dx.$

1) Решение:
Вычислим определенный интеграл: $ \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2(2x - \frac{\pi}{4})} $.
Для нахождения этого интеграла воспользуемся табличным интегралом $ \int \frac{du}{\cos^2 u} = \tan u + C $.
Сделаем замену переменной: пусть $ t = 2x - \frac{\pi}{4} $. Тогда $ dt = 2dx $, откуда $ dx = \frac{1}{2}dt $.
Первообразная будет иметь вид: $ \int \frac{\frac{1}{2}dt}{\cos^2 t} = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{\cos^2 t} = \frac{1}{2}\tan t = \frac{1}{2}\tan(2x - \frac{\pi}{4}) $.
Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $:
$ \left. \frac{1}{2}\tan(2x - \frac{\pi}{4}) \right|_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2}\tan(2 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) - \frac{1}{2}\tan(2 \cdot \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{4}) $
$ = \frac{1}{2}\tan(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) - \frac{1}{2}\tan(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}\tan(\frac{\pi}{4}) - \frac{1}{2}\tan(0) = \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $.

2) Решение:
Вычислим определенный интеграл: $ \int_{\frac{2\pi}{3}}^{\pi} \frac{dx}{\sin^2(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6})} $.
Для нахождения этого интеграла воспользуемся табличным интегралом $ \int \frac{du}{\sin^2 u} = -\cot u + C $.
Сделаем замену переменной: пусть $ t = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} $. Тогда $ dt = \frac{1}{2}dx $, откуда $ dx = 2dt $.
Первообразная будет иметь вид: $ \int \frac{2dt}{\sin^2 t} = 2 \int \frac{dt}{\sin^2 t} = -2\cot t = -2\cot(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \left. -2\cot(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) \right|_{\frac{2\pi}{3}}^{\pi} = -2\cot(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) - \left(-2\cot(\frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6})\right) $
$ = -2\cot(\frac{3\pi - \pi}{6}) + 2\cot(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}) = -2\cot(\frac{2\pi}{6}) + 2\cot(\frac{2\pi - \pi}{6}) $
$ = -2\cot(\frac{\pi}{3}) + 2\cot(\frac{\pi}{6}) = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} + 2 \cdot \sqrt{3} = \frac{-2\sqrt{3} + 6\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3} $.
Ответ: $ \frac{4\sqrt{3}}{3} $.

3) Решение:
Вычислим определенный интеграл: $ \int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} \cos(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{12}) \cdot \sin(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{12}) dx $.
Используем тригонометрическую формулу синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $, из которой следует, что $ \sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha) $.
Преобразуем подынтегральное выражение: $ \cos(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{12}) \cdot \sin(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{12}) = \frac{1}{2}\sin\left(2\left(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{12}\right)\right) = \frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) $.
Интеграл принимает вид: $ \int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} \frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) dx = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} \sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) dx $.
Первообразная для $ \sin(kx+b) $ равна $ -\frac{1}{k}\cos(kx+b) $.
$ \frac{1}{2} \int \sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) dx = \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{1/2}\cos(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6})\right) = -\cos(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \left. -\cos(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) \right|_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} = -\cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) - \left(-\cos(\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6})\right) $
$ = -\cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(0) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $.

4) Решение:
Вычислим определенный интеграл: $ \int_{0}^{\pi} (1 - 2\cos^2\frac{x}{6}) dx $.
Используем тригонометрическую формулу косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1 $. Из нее следует, что $ 1 - 2\cos^2\alpha = -\cos(2\alpha) $.
Преобразуем подынтегральное выражение: $ 1 - 2\cos^2\frac{x}{6} = -\cos(2 \cdot \frac{x}{6}) = -\cos(\frac{x}{3}) $.
Интеграл принимает вид: $ \int_{0}^{\pi} -\cos(\frac{x}{3}) dx $.
Первообразная для $ \cos(kx) $ равна $ \frac{1}{k}\sin(kx) $.
$ \int -\cos(\frac{x}{3}) dx = - \int \cos(\frac{x}{3}) dx = - \frac{1}{1/3}\sin(\frac{x}{3}) = -3\sin(\frac{x}{3}) $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \left. -3\sin(\frac{x}{3}) \right|_{0}^{\pi} = -3\sin(\frac{\pi}{3}) - (-3\sin(\frac{0}{3})) = -3\sin(\frac{\pi}{3}) + 3\sin(0) $
$ = -3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 3 \cdot 0 = -\frac{3\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ -\frac{3\sqrt{3}}{2} $.

55. 1) $\int_{2}^{6} \frac{dx}{\sqrt{3x-2}};$

2) $\int_{4}^{7} \frac{dx}{\sqrt{3x+4}};$

3) $\int_{4}^{20} \frac{dx}{2\sqrt{\frac{x}{2}-1}};$

4) $\int_{0}^{9} \frac{dx}{4\sqrt{\frac{x}{3}+1}}.$

1) Дано:
$ \int_{2}^{6} \frac{dx}{\sqrt{3x-2}} $
Найти:
Значение интеграла.
Решение:
Для вычисления интеграла применим метод замены переменной. Введем новую переменную $ t = 3x - 2 $.
Найдем ее дифференциал: $ dt = (3x-2)'dx = 3dx $, следовательно $ dx = \frac{dt}{3} $.
Пересчитаем пределы интегрирования для новой переменной $ t $:
Нижний предел: при $ x=2 $, $ t = 3(2) - 2 = 4 $.
Верхний предел: при $ x=6 $, $ t = 3(6) - 2 = 16 $.
Выполним подстановку в интеграл:
$ \int_{2}^{6} \frac{dx}{\sqrt{3x-2}} = \int_{4}^{16} \frac{1}{\sqrt{t}} \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int_{4}^{16} t^{-1/2} dt $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ - первообразная для $ f(x) $. Первообразная для $ t^{-1/2} $ равна $ \frac{t^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{t} $.
$ \frac{1}{3} \left[ 2\sqrt{t} \right]_{4}^{16} = \frac{2}{3}(\sqrt{16} - \sqrt{4}) = \frac{2}{3}(4 - 2) = \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{4}{3} $.
Ответ: $ \frac{4}{3} $.

2) Дано:
$ \int_{4}^{7} \frac{dx}{\sqrt{3x+4}} $
Найти:
Значение интеграла.
Решение:
Применим метод замены переменной. Пусть $ t = 3x + 4 $.
Тогда $ dt = 3dx $, и $ dx = \frac{dt}{3} $.
Найдем новые пределы интегрирования:
При $ x=4 $, $ t = 3(4) + 4 = 16 $.
При $ x=7 $, $ t = 3(7) + 4 = 25 $.
Подставим в интеграл:
$ \int_{4}^{7} \frac{dx}{\sqrt{3x+4}} = \int_{16}^{25} \frac{1}{\sqrt{t}} \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int_{16}^{25} t^{-1/2} dt $.
Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$ \frac{1}{3} \left[ 2\sqrt{t} \right]_{16}^{25} = \frac{2}{3}(\sqrt{25} - \sqrt{16}) = \frac{2}{3}(5 - 4) = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3} $.
Ответ: $ \frac{2}{3} $.

3) Дано:
$ \int_{4}^{20} \frac{dx}{2\sqrt{\frac{x}{2}-1}} $
Найти:
Значение интеграла.
Решение:
Вынесем константу за знак интеграла: $ \frac{1}{2} \int_{4}^{20} \frac{dx}{\sqrt{\frac{x}{2}-1}} $.
Применим метод замены переменной. Пусть $ t = \frac{x}{2} - 1 $.
Тогда $ dt = (\frac{x}{2}-1)'dx = \frac{1}{2}dx $, и $ dx = 2dt $.
Найдем новые пределы интегрирования:
При $ x=4 $, $ t = \frac{4}{2} - 1 = 1 $.
При $ x=20 $, $ t = \frac{20}{2} - 1 = 9 $.
Подставим в интеграл:
$ \frac{1}{2} \int_{4}^{20} \frac{dx}{\sqrt{\frac{x}{2}-1}} = \frac{1}{2} \int_{1}^{9} \frac{2dt}{\sqrt{t}} = \int_{1}^{9} t^{-1/2} dt $.
Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$ \left[ 2\sqrt{t} \right]_{1}^{9} = 2\sqrt{9} - 2\sqrt{1} = 2(3) - 2(1) = 6 - 2 = 4 $.
Ответ: $ 4 $.

4) Дано:
$ \int_{0}^{9} \frac{dx}{4\sqrt{\frac{x}{3}+1}} $
Найти:
Значение интеграла.
Решение:
Вынесем константу за знак интеграла: $ \frac{1}{4} \int_{0}^{9} \frac{dx}{\sqrt{\frac{x}{3}+1}} $.
Применим метод замены переменной. Пусть $ t = \frac{x}{3} + 1 $.
Тогда $ dt = (\frac{x}{3}+1)'dx = \frac{1}{3}dx $, и $ dx = 3dt $.
Найдем новые пределы интегрирования:
При $ x=0 $, $ t = \frac{0}{3} + 1 = 1 $.
При $ x=9 $, $ t = \frac{9}{3} + 1 = 4 $.
Подставим в интеграл:
$ \frac{1}{4} \int_{0}^{9} \frac{dx}{\sqrt{\frac{x}{3}+1}} = \frac{1}{4} \int_{1}^{4} \frac{3dt}{\sqrt{t}} = \frac{3}{4} \int_{1}^{4} t^{-1/2} dt $.
Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$ \frac{3}{4} \left[ 2\sqrt{t} \right]_{1}^{4} = \frac{3}{2}(\sqrt{4} - \sqrt{1}) = \frac{3}{2}(2 - 1) = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2} $.
Ответ: $ \frac{3}{2} $.

При каких значениях х выполняются равенства (56–57):

56. 1) $\int_0^x (5 - 2t)dt = 4;$

2) $\int_0^x (8 - 2t)dt = 12?$

56. 1)

Дано:

$\int_0^x (5 - 2t)dt = 4$

Найти:

$x$

Решение:

Вычислим определенный интеграл в левой части уравнения. Для этого найдем первообразную для подынтегральной функции $f(t) = 5 - 2t$.

Первообразная $F(t) = \int (5 - 2t)dt = 5t - 2\frac{t^2}{2} = 5t - t^2$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^b f(t)dt = F(b) - F(a)$:

$\int_0^x (5 - 2t)dt = [5t - t^2]_0^x = (5x - x^2) - (5 \cdot 0 - 0^2) = 5x - x^2$.

Теперь исходное уравнение принимает вид:

$5x - x^2 = 4$.

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 5x + 4 = 0$.

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $5$, а их произведение равно $4$. Следовательно, корни уравнения:

$x_1 = 1$, $x_2 = 4$.

Ответ: $x=1, x=4$.

2)

Дано:

$\int_0^x (8 - 2t)dt = 12$

Найти:

$x$

Решение:

Действуем аналогично. Сначала вычислим интеграл, найдя первообразную функции $f(t) = 8 - 2t$.

Первообразная $F(t) = \int (8 - 2t)dt = 8t - 2\frac{t^2}{2} = 8t - t^2$.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_0^x (8 - 2t)dt = [8t - t^2]_0^x = (8x - x^2) - (8 \cdot 0 - 0^2) = 8x - x^2$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$8x - x^2 = 12$.

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 - 8x + 12 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $8$, а их произведение равно $12$. Отсюда находим корни:

$x_1 = 2$, $x_2 = 6$.

Ответ: $x=2, x=6$.

57.1) $\int_{0}^{x} (3 - 2t)dt = 4 - 2x;$

2) $\int_{0}^{x} (1 - 4t)dt = 12 - 9x?`

1)

Дано:

Уравнение $ \int_{0}^{x} (3 - 2t)dt = 4 - 2x $.

Найти:

Значения $ x $, удовлетворяющие данному уравнению.

Решение:

Для решения уравнения сначала вычислим определенный интеграл в левой части. Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(t)dt = F(b) - F(a) $, где $ F(t) $ — первообразная для $ f(t) $.

Найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(t) = 3 - 2t $:

$ F(t) = \int (3 - 2t)dt = 3t - 2\frac{t^2}{2} = 3t - t^2 $.

Теперь вычислим определенный интеграл:

$ \int_{0}^{x} (3 - 2t)dt = (3x - x^2) - (3 \cdot 0 - 0^2) = 3x - x^2 $.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$ 3x - x^2 = 4 - 2x $.

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ ax^2 + bx + c = 0 $:

$ x^2 - 3x - 2x + 4 = 0 $

$ x^2 - 5x + 4 = 0 $.

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней $ x_1 + x_2 = 5 $, а их произведение $ x_1 \cdot x_2 = 4 $. Отсюда легко найти корни: $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 4 $.

Другой способ — решение через дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 $.

$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 3}{2} $.

$ x_1 = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 $.

$ x_2 = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4 $.

Ответ: $ x=1; x=4 $.

2)

Дано:

Уравнение $ \int_{0}^{x} (1 - 4t)dt = 12 - 9x $.

Найти:

Значения $ x $, удовлетворяющие данному уравнению.

Решение:

Сначала вычислим определенный интеграл в левой части уравнения, используя формулу Ньютона-Лейбница.

Найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(t) = 1 - 4t $:

$ F(t) = \int (1 - 4t)dt = t - 4\frac{t^2}{2} = t - 2t^2 $.

Вычислим определенный интеграл:

$ \int_{0}^{x} (1 - 4t)dt = (x - 2x^2) - (0 - 2 \cdot 0^2) = x - 2x^2 $.

Теперь подставим результат в исходное уравнение:

$ x - 2x^2 = 12 - 9x $.

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ ax^2 + bx + c = 0 $:

$ 2x^2 - x - 9x + 12 = 0 $

$ 2x^2 - 10x + 12 = 0 $.

Для удобства разделим все члены уравнения на 2:

$ x^2 - 5x + 6 = 0 $.

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней $ x_1 + x_2 = 5 $, а их произведение $ x_1 \cdot x_2 = 6 $. Отсюда корни: $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = 3 $.

Или через дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 $.

$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2} $.

$ x_1 = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 $.

$ x_2 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 $.

Ответ: $ x=2; x=3 $.

При каких значениях x выполняются неравенства (58—59):

58.1) $\int_{0}^{x} 3dt > 1$;

2) $\int_{x}^{x^2} 4dt < 0?$

58.1) 1)

Решение

Дано неравенство: $\int_0^x 3dt > 1$.

Для решения этого неравенства сначала вычислим определенный интеграл в левой части. Первообразной для подынтегральной функции $f(t) = 3$ является функция $F(t) = 3t$.

Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

$\int_0^x 3dt = [3t]_0^x = 3 \cdot x - 3 \cdot 0 = 3x$.

Теперь исходное неравенство можно переписать в виде:

$3x > 1$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 3:

$x > \frac{1}{3}$.

Следовательно, неравенство выполняется для всех $x$, принадлежащих интервалу от $\frac{1}{3}$ до $+\infty$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{3}; +\infty)$.

2)

Решение

Дано неравенство: $\int_x^{x^2} 4dt < 0$.

Вычислим определенный интеграл. Первообразной для подынтегральной функции $f(t) = 4$ является функция $F(t) = 4t$.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_x^{x^2} 4dt = [4t]_x^{x^2} = 4 \cdot x^2 - 4 \cdot x = 4x^2 - 4x$.

Подставим полученное выражение в неравенство:

$4x^2 - 4x < 0$.

Разделим обе части неравенства на 4 (знак неравенства не меняется, так как 4 > 0):

$x^2 - x < 0$.

Разложим левую часть на множители:

$x(x - 1) < 0$.

Решим это квадратичное неравенство методом интервалов. Корни соответствующего уравнения $x(x - 1) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Проверим знак выражения $x(x - 1)$ на каждом интервале:

• На интервале $(-\infty; 0)$, например при $x = -1$, имеем $(-1)(-1-1) = 2 > 0$.
• На интервале $(0; 1)$, например при $x = 0.5$, имеем $0.5(0.5-1) = -0.25 < 0$.
• На интервале $(1; +\infty)$, например при $x = 2$, имеем $2(2-1) = 2 > 0$.

Неравенство выполняется, когда выражение отрицательно, то есть на интервале $(0; 1)$.

Заметим также, что подынтегральная функция $f(t)=4$ всегда положительна. Интеграл от положительной функции может быть отрицательным только в том случае, если верхний предел интегрирования меньше нижнего, то есть $x^2 < x$. Это неравенство равносильно $x^2 - x < 0$, что приводит к тому же решению.

Ответ: $x \in (0; 1)$.

59.1) $\int_{x}^{1} 5dt > 9;$

2) $\int_{x}^{2} (2t - 1)dt > 0?$

1)

Дано:

Неравенство $\int_x^1 5dt > 9$.

Найти:

Все значения $x$, удовлетворяющие данному неравенству.

Решение:

Сначала вычислим определенный интеграл в левой части неравенства. Первообразная для подынтегральной функции $f(t) = 5$ есть $F(t) = 5t$.

Используем формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^b f(t)dt = F(b) - F(a)$:

$\int_x^1 5dt = [5t]_x^1 = 5 \cdot 1 - 5 \cdot x = 5 - 5x$.

Теперь подставим полученное выражение в исходное неравенство:

$5 - 5x > 9$

Решим это линейное неравенство относительно $x$:

$-5x > 9 - 5$

$-5x > 4$

При делении обеих частей на отрицательное число (-5), знак неравенства меняется на противоположный:

$x < -\frac{4}{5}$

$x < -0.8$

Ответ: $x \in (-\infty; -0.8)$.

2)

Дано:

Неравенство $\int_x^2 (2t-1)dt > 0$.

Найти:

Все значения $x$, удовлетворяющие данному неравенству.

Решение:

Вычислим определенный интеграл. Первообразная для подынтегральной функции $f(t) = 2t - 1$ есть $F(t) = t^2 - t$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_x^2 (2t-1)dt = [t^2 - t]_x^2 = (2^2 - 2) - (x^2 - x) = (4 - 2) - x^2 + x = 2 - x^2 + x$.

Подставим результат в исходное неравенство:

$-x^2 + x + 2 > 0$

Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 - x - 2 < 0$

Теперь решим это квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - x - 2 = 0$.

Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни:

$x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Графиком функции $y = x^2 - x - 2$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $x^2 - x - 2 < 0$ выполняется для значений $x$, находящихся между корнями параболы.

Следовательно, решение неравенства есть интервал $(-1; 2)$.

Ответ: $x \in (-1; 2)$.