Страница 24 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Вычислите интегралы (37–46):

37.1) $\int_{0}^{1} x^5 dx;$

2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx;$

3) $\int_{1}^{2} \frac{1}{x^4} dx;$

4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos x dx.$

37.1)

Решение

Вычислим интеграл $\int_{0}^{1} x^5 dx$.

Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ – первообразная для функции $f(x)$.

Первообразная для степенной функции $f(x) = x^n$ находится по формуле $F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}$. В данном случае $n=5$, следовательно, первообразная для $f(x) = x^5$ есть $F(x) = \frac{x^6}{6}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{1} x^5 dx = \left. \frac{x^6}{6} \right|_{0}^{1} = \frac{1^6}{6} - \frac{0^6}{6} = \frac{1}{6} - 0 = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

2)

Решение

Вычислим определенный интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \,dx$.

Первообразной для функции $f(x) = \sin x$ является функция $F(x) = -\cos x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \,dx = \left. (-\cos x) \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (-\cos(\frac{\pi}{2})) - (-\cos(0)) = -\cos(\frac{\pi}{2}) + \cos(0)$.

Зная, что $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\cos(0) = 1$, получаем:

$-\cos(\frac{\pi}{2}) + \cos(0) = -0 + 1 = 1$.

Ответ: 1.

3)

Решение

Вычислим определенный интеграл $\int_{1}^{2} \frac{1}{x^4} dx$.

Сначала представим подынтегральную функцию в виде степени: $f(x) = \frac{1}{x^4} = x^{-4}$.

Первообразная для степенной функции $f(x) = x^n$ находится по формуле $F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}$. В данном случае $n=-4$, следовательно, первообразная $F(x) = \frac{x^{-4+1}}{-4+1} = \frac{x^{-3}}{-3} = -\frac{1}{3x^3}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{2} x^{-4} dx = \left. \left(-\frac{1}{3x^3}\right) \right|_{1}^{2} = \left(-\frac{1}{3 \cdot 2^3}\right) - \left(-\frac{1}{3 \cdot 1^3}\right) = -\frac{1}{3 \cdot 8} + \frac{1}{3} = -\frac{1}{24} + \frac{1}{3}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 24:

$-\frac{1}{24} + \frac{8}{24} = \frac{7}{24}$.

Ответ: $\frac{7}{24}$.

4)

Решение

Вычислим определенный интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos x \,dx$.

Первообразной для функции $f(x) = \cos x$ является функция $F(x) = \sin x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos x \,dx = \left. \sin x \right|_{0}^{\frac{\pi}{6}} = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - \sin(0)$.

Зная, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(0) = 0$, получаем:

$\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - \sin(0) = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

38. 1) $\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} dx;$

2) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\sin^2 x} dx;$

3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx;$

4) $\int_{9}^{16} \frac{3}{\sqrt{x}} dx.$

1)

Решение

Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{-\frac{1}{2}}$.

Первообразная для степенной функции $x^n$ находится по формуле $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

В нашем случае $n = -\frac{1}{2}$, поэтому:

$F(x) = \int x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2x^{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{x}$.

Теперь подставим пределы интегрирования $a=1$ и $b=4$ в формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = [2\sqrt{x}]_{1}^{4} = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{1} = 2 \cdot 2 - 2 \cdot 1 = 4 - 2 = 2$.

Ответ: 2

2)

Решение

Вычислим определенный интеграл $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\sin^2 x} dx$ по формуле Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$.

Подынтегральная функция $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$.

Первообразная для этой функции является табличной: $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$.

Итак, $F(x) = -\cot x$.

Подставим пределы интегрирования $a=\frac{\pi}{4}$ и $b=\frac{\pi}{3}$:

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\sin^2 x} dx = [-\cot x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} = (-\cot(\frac{\pi}{3})) - (-\cot(\frac{\pi}{4})) = -\cot(\frac{\pi}{3}) + \cot(\frac{\pi}{4})$.

Значения котангенса: $\cot(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Подставляем значения: $-\frac{\sqrt{3}}{3} + 1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$

3)

Решение

Вычислим определенный интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx$ по формуле Ньютона-Лейбница.

Подынтегральная функция $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Первообразная для этой функции является табличной: $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$.

Следовательно, $F(x) = \tan x$.

Подставим пределы интегрирования $a=0$ и $b=\frac{\pi}{4}$:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx = [\tan x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \tan(\frac{\pi}{4}) - \tan(0)$.

Значения тангенса: $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\tan(0) = 0$.

Подставляем значения: $1 - 0 = 1$.

Ответ: 1

4)

Решение

Для вычисления определенного интеграла $\int_{9}^{16} \frac{3}{\sqrt{x}} dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница и свойством линейности интеграла.

$\int_{9}^{16} \frac{3}{\sqrt{x}} dx = 3 \int_{9}^{16} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$.

Подынтегральная функция $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$.

Как и в первом задании, ее первообразная равна $2\sqrt{x}$.

Тогда первообразная для $3f(x)$ будет $F(x) = 3 \cdot 2\sqrt{x} = 6\sqrt{x}$.

Теперь подставим пределы интегрирования $a=9$ и $b=16$ в формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{9}^{16} \frac{3}{\sqrt{x}} dx = [6\sqrt{x}]_{9}^{16} = 6\sqrt{16} - 6\sqrt{9} = 6 \cdot 4 - 6 \cdot 3 = 24 - 18 = 6$.

Ответ: 6

39. 1) $\int_{-2}^{1} 4x^3 dx;$

2) $\int_{-1}^{1} 5x^4 dx;$

3) $\int_{1}^{3} \frac{x^2}{5} dx;$

4) $\int_{-2}^{1} \frac{x^3}{2} dx.$

1)

Решение:

Для вычисления определенного интеграла $\int_{-2}^{1} 4x^3 dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 4x^3$.

По правилу интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$F(x) = \int 4x^3 dx = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4$.

Теперь подставим пределы интегрирования в первообразную:

$\int_{-2}^{1} 4x^3 dx = [x^4]_{-2}^{1} = (1)^4 - (-2)^4 = 1 - 16 = -15$.

Ответ: -15.

2)

Решение:

Вычислим определенный интеграл $\int_{-1}^{1} 5x^4 dx$, используя формулу Ньютона-Лейбница.

Найдем первообразную для функции $f(x) = 5x^4$.

$F(x) = \int 5x^4 dx = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} = 5 \cdot \frac{x^5}{5} = x^5$.

Подставим пределы интегрирования:

$\int_{-1}^{1} 5x^4 dx = [x^5]_{-1}^{1} = (1)^5 - (-1)^5 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Ответ: 2.

3)

Решение:

Вычислим определенный интеграл $\int_{1}^{3} \frac{x^2}{5} dx$ по формуле Ньютона-Лейбница.

Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{x^2}{5}$.

$F(x) = \int \frac{x^2}{5} dx = \frac{1}{5} \int x^2 dx = \frac{1}{5} \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{x^3}{15}$.

Подставим пределы интегрирования:

$\int_{1}^{3} \frac{x^2}{5} dx = [\frac{x^3}{15}]_{1}^{3} = \frac{3^3}{15} - \frac{1^3}{15} = \frac{27}{15} - \frac{1}{15} = \frac{26}{15}$.

Ответ: $\frac{26}{15}$.

4)

Решение:

Вычислим определенный интеграл $\int_{-2}^{1} \frac{x^3}{2} dx$ по формуле Ньютона-Лейбница.

Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{x^3}{2}$.

$F(x) = \int \frac{x^3}{2} dx = \frac{1}{2} \int x^3 dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{x^4}{8}$.

Подставим пределы интегрирования:

$\int_{-2}^{1} \frac{x^3}{2} dx = [\frac{x^4}{8}]_{-2}^{1} = \frac{1^4}{8} - \frac{(-2)^4}{8} = \frac{1}{8} - \frac{16}{8} = -\frac{15}{8}$.

Ответ: $-\frac{15}{8}$.

40. 1) $\int_{2}^{3} (2x-1) dx;$

2) $\int_{0}^{1} (3x+2) dx;$

3) $\int_{0}^{3} (x^3-2) dx;$

4) $\int_{2}^{4} (3x^2+1) dx.$

1) Решение
Для вычисления определенного интеграла $\int_{2}^{3} (2x-1) dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 2x - 1$. Используя основное правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:
$\int (2x - 1) dx = \int 2x dx - \int 1 dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - x = x^2 - x$.
Таким образом, первообразная $F(x) = x^2 - x$.
Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница, подставив верхний и нижний пределы интегрирования:
$\int_{2}^{3} (2x-1) dx = (x^2 - x) \Big|_{2}^{3} = F(3) - F(2) = (3^2 - 3) - (2^2 - 2) = (9-3) - (4-2) = 6 - 2 = 4$.
Ответ: 4

2) Решение
Вычислим интеграл $\int_{0}^{1} (3x+2) dx$, используя формулу Ньютона-Лейбница.
Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = 3x + 2$.
$\int (3x + 2) dx = \int 3x dx + \int 2 dx = 3 \cdot \frac{x^2}{2} + 2x$.
Итак, первообразная $F(x) = \frac{3x^2}{2} + 2x$.
Подставим пределы интегрирования в первообразную:
$\int_{0}^{1} (3x+2) dx = \left(\frac{3x^2}{2} + 2x\right) \Big|_{0}^{1} = F(1) - F(0) = \left(\frac{3 \cdot 1^2}{2} + 2 \cdot 1\right) - \left(\frac{3 \cdot 0^2}{2} + 2 \cdot 0\right) = \left(\frac{3}{2} + 2\right) - 0 = \frac{3}{2} + \frac{4}{2} = \frac{7}{2}$.
Ответ: $\frac{7}{2}$

3) Решение
Вычислим интеграл $\int_{0}^{3} (x^3 - 2) dx$.
Найдем первообразную для функции $f(x) = x^3 - 2$.
$\int (x^3 - 2) dx = \int x^3 dx - \int 2 dx = \frac{x^4}{4} - 2x$.
Таким образом, первообразная $F(x) = \frac{x^4}{4} - 2x$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{0}^{3} (x^3 - 2) dx = \left(\frac{x^4}{4} - 2x\right) \Big|_{0}^{3} = F(3) - F(0) = \left(\frac{3^4}{4} - 2 \cdot 3\right) - \left(\frac{0^4}{4} - 2 \cdot 0\right) = \left(\frac{81}{4} - 6\right) - 0 = \frac{81}{4} - \frac{24}{4} = \frac{57}{4}$.
Ответ: $\frac{57}{4}$

4) Решение
Вычислим интеграл $\int_{2}^{4} (3x^2 + 1) dx$.
Найдем первообразную для функции $f(x) = 3x^2 + 1$.
$\int (3x^2 + 1) dx = \int 3x^2 dx + \int 1 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + x = x^3 + x$.
Следовательно, первообразная $F(x) = x^3 + x$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{2}^{4} (3x^2 + 1) dx = (x^3 + x) \Big|_{2}^{4} = F(4) - F(2) = (4^3 + 4) - (2^3 + 2) = (64 + 4) - (8 + 2) = 68 - 10 = 58$.
Ответ: 58

41.1) $\int_{1}^{2} (2x - x^2) dx;$

2) $\int_{0}^{2} (2x + x^2) dx;$

3) $\int_{0}^{1} (1 + x^4) dx;$

4) $\int_{-1}^{0} (1 - x^5) dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{2} (2x - x^2) dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 2x - x^2$. Используем правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
$F(x) = \int (2x - x^2)dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} - \frac{x^{2+1}}{2+1} = 2\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = x^2 - \frac{x^3}{3}$.
Теперь подставим пределы интегрирования в найденную первообразную:
$\int_{1}^{2} (2x - x^2) dx = \left. \left(x^2 - \frac{x^3}{3}\right) \right|_{1}^{2} = F(2) - F(1) = \left(2^2 - \frac{2^3}{3}\right) - \left(1^2 - \frac{1^3}{3}\right) = \left(4 - \frac{8}{3}\right) - \left(1 - \frac{1}{3}\right) = \left(\frac{12-8}{3}\right) - \left(\frac{3-1}{3}\right) = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

2) Вычислим определенный интеграл $\int_{0}^{2} (2x + x^2) dx$.
Найдем первообразную для функции $f(x) = 2x + x^2$:
$F(x) = \int (2x + x^2)dx = 2\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} = x^2 + \frac{x^3}{3}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{0}^{2} (2x + x^2) dx = \left. \left(x^2 + \frac{x^3}{3}\right) \right|_{0}^{2} = \left(2^2 + \frac{2^3}{3}\right) - \left(0^2 + \frac{0^3}{3}\right) = \left(4 + \frac{8}{3}\right) - 0 = \frac{12+8}{3} = \frac{20}{3}$.
Ответ: $\frac{20}{3}$.

3) Вычислим определенный интеграл $\int_{0}^{1} (1 + x^4) dx$.
Найдем первообразную для функции $f(x) = 1 + x^4$. Первообразная для константы $c$ равна $cx$.
$F(x) = \int (1 + x^4)dx = x + \frac{x^5}{5}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{0}^{1} (1 + x^4) dx = \left. \left(x + \frac{x^5}{5}\right) \right|_{0}^{1} = \left(1 + \frac{1^5}{5}\right) - \left(0 + \frac{0^5}{5}\right) = 1 + \frac{1}{5} - 0 = \frac{5}{5} + \frac{1}{5} = \frac{6}{5}$.
Ответ: $\frac{6}{5}$.

4) Вычислим определенный интеграл $\int_{-1}^{0} (1 - x^5) dx$.
Найдем первообразную для функции $f(x) = 1 - x^5$:
$F(x) = \int (1 - x^5)dx = x - \frac{x^6}{6}$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{-1}^{0} (1 - x^5) dx = \left. \left(x - \frac{x^6}{6}\right) \right|_{-1}^{0} = \left(0 - \frac{0^6}{6}\right) - \left(-1 - \frac{(-1)^6}{6}\right) = 0 - \left(-1 - \frac{1}{6}\right) = - \left(-\frac{6}{6} - \frac{1}{6}\right) = - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{7}{6}$.
Ответ: $\frac{7}{6}$.

42. 1) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos x + 1)dx;$

2) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^0 (1 - \sin x)dx;$

3) $\int_{-\frac{\pi}{4}}^0 (3 - 5\cos x)dx;$

4) $\int_0^{\frac{\pi}{4}} (4\sin x + 3)dx.$

1)

Дано:

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos x + 1)dx $

Найти:

Значение интеграла.

Решение:

Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ - первообразная для функции $ f(x) $.

1. Найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = \cos x + 1 $. Первообразной для $ \cos x $ является $ \sin x $, а для $ 1 $ - $ x $. Таким образом, первообразная для всей функции будет $ F(x) = \sin x + x $.

2. Подставим пределы интегрирования в первообразную:

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos x + 1)dx = (\sin x + x) \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{2}\right) - (\sin(0) + 0) $

3. Вычислим значения тригонометрических функций: $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $ и $ \sin(0) = 0 $.

4. Подставим эти значения в выражение:

$ \left(1 + \frac{\pi}{2}\right) - (0 + 0) = 1 + \frac{\pi}{2} $

Ответ: $ 1 + \frac{\pi}{2} $.

2)

Дано:

$ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} (1 - \sin x)dx $

Найти:

Значение интеграла.

Решение:

Используем формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $.

1. Найдем первообразную для $ f(x) = 1 - \sin x $. Первообразная для $ 1 $ есть $ x $, а для $ -\sin x $ есть $ \cos x $. Таким образом, $ F(x) = x + \cos x $.

2. Подставим пределы интегрирования:

$ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} (1 - \sin x)dx = (x + \cos x) \Big|_{-\frac{\pi}{2}}^{0} = (0 + \cos(0)) - \left(-\frac{\pi}{2} + \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) $

3. Вычислим значения: $ \cos(0) = 1 $ и $ \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $ (так как косинус - четная функция).

4. Подставим значения в выражение:

$ (0 + 1) - \left(-\frac{\pi}{2} + 0\right) = 1 - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = 1 + \frac{\pi}{2} $

Ответ: $ 1 + \frac{\pi}{2} $.

3)

Дано:

$ \int_{-\frac{\pi}{4}}^{0} (3 - 5\cos x)dx $

Найти:

Значение интеграла.

Решение:

Применяем формулу Ньютона-Лейбница.

1. Найдем первообразную для $ f(x) = 3 - 5\cos x $. Первообразная для $ 3 $ есть $ 3x $, а для $ -5\cos x $ есть $ -5\sin x $. Следовательно, $ F(x) = 3x - 5\sin x $.

2. Подставим пределы интегрирования:

$ \int_{-\frac{\pi}{4}}^{0} (3 - 5\cos x)dx = (3x - 5\sin x) \Big|_{-\frac{\pi}{4}}^{0} = (3 \cdot 0 - 5\sin(0)) - \left(3\left(-\frac{\pi}{4}\right) - 5\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) $

3. Вычислим значения: $ \sin(0) = 0 $ и $ \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ (так как синус - нечетная функция).

4. Подставим значения в выражение:

$ (0 - 5 \cdot 0) - \left(-\frac{3\pi}{4} - 5\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) = 0 - \left(-\frac{3\pi}{4} + \frac{5\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4} - \frac{5\sqrt{2}}{2} $

Ответ: $ \frac{3\pi}{4} - \frac{5\sqrt{2}}{2} $.

4)

Дано:

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (4\sin x + 3)dx $

Найти:

Значение интеграла.

Решение:

Используем формулу Ньютона-Лейбница.

1. Найдем первообразную для $ f(x) = 4\sin x + 3 $. Первообразная для $ 4\sin x $ есть $ -4\cos x $, а для $ 3 $ есть $ 3x $. Следовательно, $ F(x) = -4\cos x + 3x $.

2. Подставим пределы интегрирования:

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (4\sin x + 3)dx = (-4\cos x + 3x) \Big|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \left(-4\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + 3 \cdot \frac{\pi}{4}\right) - (-4\cos(0) + 3 \cdot 0) $

3. Вычислим значения: $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos(0) = 1 $.

4. Подставим значения в выражение:

$ \left(-4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3\pi}{4}\right) - (-4 \cdot 1 + 0) = \left(-2\sqrt{2} + \frac{3\pi}{4}\right) - (-4) = -2\sqrt{2} + \frac{3\pi}{4} + 4 $

Ответ: $ 4 - 2\sqrt{2} + \frac{3\pi}{4} $.

43. 1) $\int_{0}^{1} (8x^7 + 2) dx;$

2) $\int_{-1}^{0} (3 - 9x^8) dx;$

3) $\int_{-1}^{1} (6x^5 - 4) dx;$

4) $\int_{1}^{2} (7x^6 + 9) dx.$

43. 1) $ \int_{0}^{1} (8x^7 + 2) dx $

Решение:

Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ - первообразная для функции $ f(x) $.
Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = 8x^7 + 2 $. Используя правило интегрирования степенной функции $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} $, получаем:
$ F(x) = \int (8x^7 + 2) dx = 8 \int x^7 dx + \int 2 dx = 8 \frac{x^{7+1}}{7+1} + 2x = 8 \frac{x^8}{8} + 2x = x^8 + 2x $.
Теперь подставим пределы интегрирования $ a = 0 $ и $ b = 1 $ в первообразную:
$ \int_{0}^{1} (8x^7 + 2) dx = (x^8 + 2x) \Big|_{0}^{1} = (1^8 + 2 \cdot 1) - (0^8 + 2 \cdot 0) = (1 + 2) - (0) = 3 $.

Ответ: 3.

2) $ \int_{-1}^{0} (3 - 9x^8) dx $

Решение:

Найдем первообразную для функции $ f(x) = 3 - 9x^8 $:
$ F(x) = \int (3 - 9x^8) dx = \int 3 dx - 9 \int x^8 dx = 3x - 9 \frac{x^{8+1}}{8+1} = 3x - 9 \frac{x^9}{9} = 3x - x^9 $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами $ a = -1 $ и $ b = 0 $:
$ \int_{-1}^{0} (3 - 9x^8) dx = (3x - x^9) \Big|_{-1}^{0} = (3 \cdot 0 - 0^9) - (3 \cdot (-1) - (-1)^9) = 0 - (-3 - (-1)) = 0 - (-3 + 1) = 0 - (-2) = 2 $.

Ответ: 2.

3) $ \int_{-1}^{1} (6x^5 - 4) dx $

Решение:

Найдем первообразную для функции $ f(x) = 6x^5 - 4 $:
$ F(x) = \int (6x^5 - 4) dx = 6 \int x^5 dx - \int 4 dx = 6 \frac{x^{5+1}}{5+1} - 4x = 6 \frac{x^6}{6} - 4x = x^6 - 4x $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами $ a = -1 $ и $ b = 1 $:
$ \int_{-1}^{1} (6x^5 - 4) dx = (x^6 - 4x) \Big|_{-1}^{1} = (1^6 - 4 \cdot 1) - ((-1)^6 - 4 \cdot (-1)) = (1 - 4) - (1 + 4) = -3 - 5 = -8 $.

Ответ: -8.

4) $ \int_{1}^{2} (7x^6 + 9) dx $

Решение:

Найдем первообразную для функции $ f(x) = 7x^6 + 9 $:
$ F(x) = \int (7x^6 + 9) dx = 7 \int x^6 dx + \int 9 dx = 7 \frac{x^{6+1}}{6+1} + 9x = 7 \frac{x^7}{7} + 9x = x^7 + 9x $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами $ a = 1 $ и $ b = 2 $:
$ \int_{1}^{2} (7x^6 + 9) dx = (x^7 + 9x) \Big|_{1}^{2} = (2^7 + 9 \cdot 2) - (1^7 + 9 \cdot 1) = (128 + 18) - (1 + 9) = 146 - 10 = 136 $.

Ответ: 136.