Номер 40, страница 24 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

40. 1) $\int_{2}^{3} (2x-1) dx;$

2) $\int_{0}^{1} (3x+2) dx;$

3) $\int_{0}^{3} (x^3-2) dx;$

4) $\int_{2}^{4} (3x^2+1) dx.$

1) Решение
Для вычисления определенного интеграла $\int_{2}^{3} (2x-1) dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 2x - 1$. Используя основное правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:
$\int (2x - 1) dx = \int 2x dx - \int 1 dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - x = x^2 - x$.
Таким образом, первообразная $F(x) = x^2 - x$.
Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница, подставив верхний и нижний пределы интегрирования:
$\int_{2}^{3} (2x-1) dx = (x^2 - x) \Big|_{2}^{3} = F(3) - F(2) = (3^2 - 3) - (2^2 - 2) = (9-3) - (4-2) = 6 - 2 = 4$.
Ответ: 4

2) Решение
Вычислим интеграл $\int_{0}^{1} (3x+2) dx$, используя формулу Ньютона-Лейбница.
Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = 3x + 2$.
$\int (3x + 2) dx = \int 3x dx + \int 2 dx = 3 \cdot \frac{x^2}{2} + 2x$.
Итак, первообразная $F(x) = \frac{3x^2}{2} + 2x$.
Подставим пределы интегрирования в первообразную:
$\int_{0}^{1} (3x+2) dx = \left(\frac{3x^2}{2} + 2x\right) \Big|_{0}^{1} = F(1) - F(0) = \left(\frac{3 \cdot 1^2}{2} + 2 \cdot 1\right) - \left(\frac{3 \cdot 0^2}{2} + 2 \cdot 0\right) = \left(\frac{3}{2} + 2\right) - 0 = \frac{3}{2} + \frac{4}{2} = \frac{7}{2}$.
Ответ: $\frac{7}{2}$

3) Решение
Вычислим интеграл $\int_{0}^{3} (x^3 - 2) dx$.
Найдем первообразную для функции $f(x) = x^3 - 2$.
$\int (x^3 - 2) dx = \int x^3 dx - \int 2 dx = \frac{x^4}{4} - 2x$.
Таким образом, первообразная $F(x) = \frac{x^4}{4} - 2x$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{0}^{3} (x^3 - 2) dx = \left(\frac{x^4}{4} - 2x\right) \Big|_{0}^{3} = F(3) - F(0) = \left(\frac{3^4}{4} - 2 \cdot 3\right) - \left(\frac{0^4}{4} - 2 \cdot 0\right) = \left(\frac{81}{4} - 6\right) - 0 = \frac{81}{4} - \frac{24}{4} = \frac{57}{4}$.
Ответ: $\frac{57}{4}$

4) Решение
Вычислим интеграл $\int_{2}^{4} (3x^2 + 1) dx$.
Найдем первообразную для функции $f(x) = 3x^2 + 1$.
$\int (3x^2 + 1) dx = \int 3x^2 dx + \int 1 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + x = x^3 + x$.
Следовательно, первообразная $F(x) = x^3 + x$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{2}^{4} (3x^2 + 1) dx = (x^3 + x) \Big|_{2}^{4} = F(4) - F(2) = (4^3 + 4) - (2^3 + 2) = (64 + 4) - (8 + 2) = 68 - 10 = 58$.
Ответ: 58