Номер 44, страница 25 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

44.1) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (2\sin x - 3\cos x) dx;$

2) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (2\cos x - 5\sin x) dx;$

3) $\int_{0}^{\pi} \left(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{4}\right) dx;$

4) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \left(\sin \frac{x}{3} - \cos \frac{x}{2}\right) dx.$

44.1) 1)

Дано:

Определенный интеграл $ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (2\sin x - 3\cos x) dx $.

Найти:

Значение данного интеграла.

Решение:

Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) $, где $F(x)$ - первообразная для функции $f(x)$.

Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 2\sin x - 3\cos x$.

$ F(x) = \int (2\sin x - 3\cos x) dx = 2 \int \sin x dx - 3 \int \cos x dx = 2(-\cos x) - 3(\sin x) = -2\cos x - 3\sin x$.

Теперь вычислим значения первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования:

$ F(\frac{\pi}{2}) = -2\cos(\frac{\pi}{2}) - 3\sin(\frac{\pi}{2}) = -2 \cdot 0 - 3 \cdot 1 = -3$.

$ F(\frac{\pi}{4}) = -2\cos(\frac{\pi}{4}) - 3\sin(\frac{\pi}{4}) = -2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2} = -\frac{5\sqrt{2}}{2}$.

Вычисляем значение интеграла:

$ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (2\sin x - 3\cos x) dx = F(\frac{\pi}{2}) - F(\frac{\pi}{4}) = -3 - (-\frac{5\sqrt{2}}{2}) = -3 + \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2} - 6}{2}$.

Ответ: $ \frac{5\sqrt{2} - 6}{2} $.

2)

Дано:

Определенный интеграл $ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (2\cos x - 5\sin x) dx $.

Найти:

Значение данного интеграла.

Решение:

Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница $ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) $.

Первообразная для $ f(x) = 2\cos x - 5\sin x $ равна:

$ F(x) = \int (2\cos x - 5\sin x) dx = 2\sin x - 5(-\cos x) = 2\sin x + 5\cos x$.

Вычисляем значения первообразной в пределах интегрирования:

$ F(\frac{\pi}{3}) = 2\sin(\frac{\pi}{3}) + 5\cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 5 \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3} + \frac{5}{2} = \frac{2\sqrt{3} + 5}{2}$.

$ F(\frac{\pi}{6}) = 2\sin(\frac{\pi}{6}) + 5\cos(\frac{\pi}{6}) = 2 \cdot \frac{1}{2} + 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 + \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + 5\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем в формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (2\cos x - 5\sin x) dx = F(\frac{\pi}{3}) - F(\frac{\pi}{6}) = \frac{2\sqrt{3} + 5}{2} - \frac{2 + 5\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3} + 5 - 2 - 5\sqrt{3}}{2} = \frac{3 - 3\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $ \frac{3 - 3\sqrt{3}}{2} $.

3)

Дано:

Определенный интеграл $ \int_{0}^{\pi} (\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{4}) dx $.

Найти:

Значение данного интеграла.

Решение:

Для вычисления интеграла используем формулу Ньютона-Лейбница.

Находим первообразную для $ f(x) = \sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{4} $:

$ F(x) = \int (\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{4}) dx = \frac{-\cos(x/2)}{1/2} + \frac{\sin(x/4)}{1/4} = -2\cos \frac{x}{2} + 4\sin \frac{x}{4}$.

Вычисляем значения первообразной в пределах интегрирования:

$ F(\pi) = -2\cos(\frac{\pi}{2}) + 4\sin(\frac{\pi}{4}) = -2 \cdot 0 + 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.

$ F(0) = -2\cos(\frac{0}{2}) + 4\sin(\frac{0}{4}) = -2\cos(0) + 4\sin(0) = -2 \cdot 1 + 4 \cdot 0 = -2$.

Вычисляем интеграл:

$ \int_{0}^{\pi} (\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{4}) dx = F(\pi) - F(0) = 2\sqrt{2} - (-2) = 2\sqrt{2} + 2 = 2(1 + \sqrt{2})$.

Ответ: $ 2(1 + \sqrt{2}) $.

4)

Дано:

Определенный интеграл $ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} (\sin \frac{x}{3} - \cos \frac{x}{2}) dx $.

Найти:

Значение данного интеграла.

Решение:

Применяем формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла.

Находим первообразную для $ f(x) = \sin \frac{x}{3} - \cos \frac{x}{2} $:

$ F(x) = \int (\sin \frac{x}{3} - \cos \frac{x}{2}) dx = \frac{-\cos(x/3)}{1/3} - \frac{\sin(x/2)}{1/2} = -3\cos \frac{x}{3} - 2\sin \frac{x}{2}$.

Вычисляем значения первообразной на границах интегрирования:

$ F(0) = -3\cos(\frac{0}{3}) - 2\sin(\frac{0}{2}) = -3\cos(0) - 2\sin(0) = -3 \cdot 1 - 2 \cdot 0 = -3$.

$ F(-\frac{\pi}{2}) = -3\cos(\frac{-\pi/2}{3}) - 2\sin(\frac{-\pi/2}{2}) = -3\cos(-\frac{\pi}{6}) - 2\sin(-\frac{\pi}{4})$.

Используя свойства четности косинуса ($\cos(-a) = \cos(a)$) и нечетности синуса ($\sin(-a) = -\sin(a)$), получаем:

$ F(-\frac{\pi}{2}) = -3\cos(\frac{\pi}{6}) + 2\sin(\frac{\pi}{4}) = -3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{2} + \sqrt{2} = \frac{2\sqrt{2} - 3\sqrt{3}}{2}$.

Вычисляем интеграл:

$ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} (\sin \frac{x}{3} - \cos \frac{x}{2}) dx = F(0) - F(-\frac{\pi}{2}) = -3 - (\frac{2\sqrt{2} - 3\sqrt{3}}{2}) = \frac{-6 - (2\sqrt{2} - 3\sqrt{3})}{2} = \frac{-6 - 2\sqrt{2} + 3\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} - 6}{2}$.

Ответ: $ \frac{3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} - 6}{2} $.