Номер 43, страница 24 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

43. 1) $\int_{0}^{1} (8x^7 + 2) dx;$

2) $\int_{-1}^{0} (3 - 9x^8) dx;$

3) $\int_{-1}^{1} (6x^5 - 4) dx;$

4) $\int_{1}^{2} (7x^6 + 9) dx.$

43. 1) $ \int_{0}^{1} (8x^7 + 2) dx $

Решение:

Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ - первообразная для функции $ f(x) $.
Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = 8x^7 + 2 $. Используя правило интегрирования степенной функции $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} $, получаем:
$ F(x) = \int (8x^7 + 2) dx = 8 \int x^7 dx + \int 2 dx = 8 \frac{x^{7+1}}{7+1} + 2x = 8 \frac{x^8}{8} + 2x = x^8 + 2x $.
Теперь подставим пределы интегрирования $ a = 0 $ и $ b = 1 $ в первообразную:
$ \int_{0}^{1} (8x^7 + 2) dx = (x^8 + 2x) \Big|_{0}^{1} = (1^8 + 2 \cdot 1) - (0^8 + 2 \cdot 0) = (1 + 2) - (0) = 3 $.

Ответ: 3.

2) $ \int_{-1}^{0} (3 - 9x^8) dx $

Решение:

Найдем первообразную для функции $ f(x) = 3 - 9x^8 $:
$ F(x) = \int (3 - 9x^8) dx = \int 3 dx - 9 \int x^8 dx = 3x - 9 \frac{x^{8+1}}{8+1} = 3x - 9 \frac{x^9}{9} = 3x - x^9 $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами $ a = -1 $ и $ b = 0 $:
$ \int_{-1}^{0} (3 - 9x^8) dx = (3x - x^9) \Big|_{-1}^{0} = (3 \cdot 0 - 0^9) - (3 \cdot (-1) - (-1)^9) = 0 - (-3 - (-1)) = 0 - (-3 + 1) = 0 - (-2) = 2 $.

Ответ: 2.

3) $ \int_{-1}^{1} (6x^5 - 4) dx $

Решение:

Найдем первообразную для функции $ f(x) = 6x^5 - 4 $:
$ F(x) = \int (6x^5 - 4) dx = 6 \int x^5 dx - \int 4 dx = 6 \frac{x^{5+1}}{5+1} - 4x = 6 \frac{x^6}{6} - 4x = x^6 - 4x $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами $ a = -1 $ и $ b = 1 $:
$ \int_{-1}^{1} (6x^5 - 4) dx = (x^6 - 4x) \Big|_{-1}^{1} = (1^6 - 4 \cdot 1) - ((-1)^6 - 4 \cdot (-1)) = (1 - 4) - (1 + 4) = -3 - 5 = -8 $.

Ответ: -8.

4) $ \int_{1}^{2} (7x^6 + 9) dx $

Решение:

Найдем первообразную для функции $ f(x) = 7x^6 + 9 $:
$ F(x) = \int (7x^6 + 9) dx = 7 \int x^6 dx + \int 9 dx = 7 \frac{x^{6+1}}{6+1} + 9x = 7 \frac{x^7}{7} + 9x = x^7 + 9x $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами $ a = 1 $ и $ b = 2 $:
$ \int_{1}^{2} (7x^6 + 9) dx = (x^7 + 9x) \Big|_{1}^{2} = (2^7 + 9 \cdot 2) - (1^7 + 9 \cdot 1) = (128 + 18) - (1 + 9) = 146 - 10 = 136 $.

Ответ: 136.