Вопросы, страница 23 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Ответ: 1; 5.

1. Чем отличается определенный интеграл от неопределенного?

2. Почему $\int_a^b f(x)dx$ называется определенным интегралом?

3. Какому условию должна удовлетворять функция $f(x)$, чтобы можно было записать формулу Ньютона—Лейбница $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$?

1. Основное различие между определенным и неопределенным интегралом заключается в результате, который получается при их вычислении.
Неопределенный интеграл от функции $f(x)$, обозначаемый как $\int f(x)dx$, представляет собой совокупность всех ее первообразных. Результатом является семейство функций вида $F(x) + C$, где $F'(x) = f(x)$, а $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования). Таким образом, неопределенный интеграл — это функция (или, точнее, семейство функций).
Определенный интеграл от функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$, обозначаемый как $\int_a^b f(x)dx$, является конкретным числом. Это число представляет собой предел интегральных сумм и имеет четкий геометрический смысл — площадь криволинейной трапеции (для неотрицательной функции). Оно вычисляется по формуле Ньютона—Лейбница и не содержит произвольных постоянных.

Ответ: Определенный интеграл в результате вычисления дает число, а неопределенный интеграл — семейство функций (первообразных).

2. Интеграл вида $\int_a^b f(x)dx$ называется "определенным", потому что его значение является конкретным, однозначно определенным числом, если задана функция $f(x)$ и отрезок интегрирования $[a, b]$. Наличие верхнего ($b$) и нижнего ($a$) пределов интегрирования устраняет неопределенность, присущую первообразной (в виде константы $C$). Результат зависит только от вида функции $f$ и значений $a$ и $b$, но не от переменной интегрирования. Таким образом, значение интеграла четко "определено" этими параметрами.

Ответ: Он называется определенным, так как результатом его вычисления является вполне определенное число, а не семейство функций с неопределенной константой.

3. Формула Ньютона—Лейбница $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$ является фундаментальным инструментом для вычисления определенных интегралов, где $F(x)$ — любая первообразная для функции $f(x)$. Чтобы эта формула была справедлива, подынтегральная функция $f(x)$ должна удовлетворять определенному условию на отрезке интегрирования.

Основным и достаточным условием, которое изучается в стандартном курсе математического анализа, является непрерывность функции $f(x)$ на замкнутом отрезке $[a, b]$. Если функция $f(x)$ непрерывна на $[a, b]$, то для нее на этом отрезке существует первообразная $F(x)$, и формула Ньютона—Лейбница применима.

Ответ: Функция $f(x)$ должна быть непрерывной на отрезке интегрирования $[a, b]$.