Номер 31, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной следующими линиями (31–34):

31.1) $y = \frac{1}{(x+1)^2}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 2$;

2) $y = \frac{1}{(x-1)^2}$, $y = 0$, $x = -1$, $x = 0$.

1)

Дано:

Криволинейная трапеция ограничена линиями:

$y = \frac{1}{(x+1)^2}$

$y = 0$

$x = 1$

$x = 2$

Найти:

Площадь криволинейной трапеции $S$.

Решение:

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y = f(x)$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \int_a^b f(x) \,dx$

В данном случае $f(x) = \frac{1}{(x+1)^2}$, $a=1$, $b=2$. Функция $f(x)$ непрерывна и неотрицательна на отрезке $[1, 2]$.

Вычислим определенный интеграл:

$S = \int_1^2 \frac{1}{(x+1)^2} \,dx$

Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{(x+1)^2} = (x+1)^{-2}$.

$\int (x+1)^{-2} \,d(x+1) = -\frac{(x+1)^{-1}}{1} + C = -\frac{1}{x+1} + C$

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left. -\frac{1}{x+1} \right|_1^2 = \left(-\frac{1}{2+1}\right) - \left(-\frac{1}{1+1}\right) = -\frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{-2+3}{6} = \frac{1}{6}$

Площадь криволинейной трапеции равна $\frac{1}{6}$ квадратных единиц.

Ответ: $S = \frac{1}{6}$.

2)

Дано:

Криволинейная трапеция ограничена линиями:

$y = \frac{1}{(x-1)^2}$

$y = 0$

$x = -1$

$x = 0$

Найти:

Площадь криволинейной трапеции $S$.

Решение:

Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле:

$S = \int_a^b f(x) \,dx$

В данном случае $f(x) = \frac{1}{(x-1)^2}$, $a=-1$, $b=0$. Функция $f(x)$ непрерывна и неотрицательна на отрезке $[-1, 0]$ (точка разрыва $x=1$ не принадлежит этому отрезку).

Вычислим определенный интеграл:

$S = \int_{-1}^0 \frac{1}{(x-1)^2} \,dx$

Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{(x-1)^2} = (x-1)^{-2}$.

$\int (x-1)^{-2} \,d(x-1) = -\frac{(x-1)^{-1}}{1} + C = -\frac{1}{x-1} + C$

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left. -\frac{1}{x-1} \right|_{-1}^0 = \left(-\frac{1}{0-1}\right) - \left(-\frac{1}{-1-1}\right) = \left(-\frac{1}{-1}\right) - \left(-\frac{1}{-2}\right) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Площадь криволинейной трапеции равна $\frac{1}{2}$ квадратных единиц.

Ответ: $S = \frac{1}{2}$.