Номер 27, страница 19 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной следующими линиями (27– 29):

27.1) $y = x^2 + 1$, $y=0$, $x=0$, $x=1$;

2) $y = x^2 - 1$, $y=0$, $x=2$, $x=3$.

1) y = x² + 1, y = 0, x = 0, x = 1;

Дано:

Криволинейная трапеция ограничена линиями: $y = x^2 + 1$, $y = 0$ (ось Ox), $x = 0$, $x = 1$.

Найти:

Площадь $S$ криволинейной трапеции.

Решение:

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком неотрицательной функции $y = f(x)$, снизу осью абсцисс $y=0$, и с боков прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется как определенный интеграл:

$S = \int_a^b f(x) \,dx$

В нашем случае, функция $f(x) = x^2 + 1$, а пределы интегрирования $a = 0$ и $b = 1$.

Функция $f(x) = x^2 + 1$ является неотрицательной на отрезке $[0, 1]$, так как для любого $x$, $x^2 \ge 0$, а значит $x^2 + 1 \ge 1$.

Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \int_0^1 (x^2 + 1) \,dx = \left( \frac{x^3}{3} + x \right) \bigg|_0^1 = \left( \frac{1^3}{3} + 1 \right) - \left( \frac{0^3}{3} + 0 \right) = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$.

Таким образом, искомая площадь равна $\frac{4}{3}$ кв. ед.

Ответ: $S = \frac{4}{3}$

2) y = x² - 1, y = 0, x = 2, x = 3.

Дано:

Криволинейная трапеция ограничена линиями: $y = x^2 - 1$, $y = 0$ (ось Ox), $x = 2$, $x = 3$.

Найти:

Площадь $S$ криволинейной трапеции.

Решение:

Аналогично предыдущему пункту, площадь криволинейной трапеции находится по формуле определенного интеграла:

$S = \int_a^b f(x) \,dx$

Здесь $f(x) = x^2 - 1$, $a = 2$, $b = 3$.

Проверим, что функция $f(x) = x^2 - 1$ неотрицательна на отрезке $[2, 3]$. Для любого $x \in [2, 3]$, имеем $x^2 \ge 4$, следовательно $x^2 - 1 \ge 3 > 0$. Функция положительна на всем отрезке интегрирования.

Вычисляем интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \int_2^3 (x^2 - 1) \,dx = \left( \frac{x^3}{3} - x \right) \bigg|_2^3 = \left( \frac{3^3}{3} - 3 \right) - \left( \frac{2^3}{3} - 2 \right) = (9 - 3) - \left( \frac{8}{3} - \frac{6}{3} \right) = 6 - \frac{2}{3} = \frac{18 - 2}{3} = \frac{16}{3}$.

Искомая площадь составляет $\frac{16}{3}$ или $5\frac{1}{3}$ кв. ед.

Ответ: $S = \frac{16}{3}$