Номер 23, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

23. 1) $f(x) = \cos^2 x;$

2) $f(x) = \sin^2 x;$

3) $f(x) = \cos \frac{x}{4} \sin \frac{\pi}{9} - \sin \frac{x}{4} \cos \frac{\pi}{9};$

4) $f(x) = \sin \frac{x}{5} \cdot \sin \frac{\pi}{10} - \cos \frac{x}{5} \cdot \cos \frac{\pi}{10}.$

1) $f(x) = \cos^2 x$

Дано:

Функция $f(x) = \cos^2 x$.

Найти:

Основной период функции $T$.

Решение:

Для нахождения периода функции воспользуемся формулой понижения степени: $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

Применив эту формулу к нашей функции, получим:

$f(x) = \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2x)$.

Функция представляет собой сумму константы и косинусоиды. Период такой функции определяется периодом косинусоиды.

Основной период функции вида $y = A \cos(kx + \phi) + B$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

В нашем случае $k = 2$.

Следовательно, период функции $f(x)$ равен:

$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Ответ: $\pi$.

2) $f(x) = \sin^2 x$

Дано:

Функция $f(x) = \sin^2 x$.

Найти:

Основной период функции $T$.

Решение:

Для нахождения периода функции воспользуемся формулой понижения степени: $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.

Применив эту формулу к нашей функции, получим:

$f(x) = \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x)$.

Период данной функции определяется периодом функции $\cos(2x)$.

Основной период функции вида $y = A \cos(kx + \phi) + B$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

В нашем случае $k = 2$.

Следовательно, период функции $f(x)$ равен:

$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Ответ: $\pi$.

3) $f(x) = \cos \frac{x}{4} \sin \frac{\pi}{9} - \sin \frac{x}{4} \cos \frac{\pi}{9}$

Дано:

Функция $f(x) = \cos \frac{x}{4} \sin \frac{\pi}{9} - \sin \frac{x}{4} \cos \frac{\pi}{9}$.

Найти:

Основной период функции $T$.

Решение:

Упростим выражение для функции $f(x)$, используя тригонометрическую формулу синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$.

Перепишем исходную функцию в виде, удобном для применения формулы:

$f(x) = \sin \frac{\pi}{9} \cos \frac{x}{4} - \cos \frac{\pi}{9} \sin \frac{x}{4}$.

Здесь можно положить $\alpha = \frac{\pi}{9}$ и $\beta = \frac{x}{4}$.

Тогда функция принимает вид:

$f(x) = \sin(\frac{\pi}{9} - \frac{x}{4})$.

Основной период функции вида $y = A \sin(kx + \phi) + B$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

В нашем случае коэффициент при $x$ равен $k = -\frac{1}{4}$.

Следовательно, период функции $f(x)$ равен:

$T = \frac{2\pi}{|-1/4|} = \frac{2\pi}{1/4} = 8\pi$.

Ответ: $8\pi$.

4) $f(x) = \sin \frac{x}{5} \sin \frac{\pi}{10} - \cos \frac{x}{5} \cos \frac{\pi}{10}$

Дано:

Функция $f(x) = \sin \frac{x}{5} \sin \frac{\pi}{10} - \cos \frac{x}{5} \cos \frac{\pi}{10}$.

Найти:

Основной период функции $T$.

Решение:

Упростим выражение для функции $f(x)$, используя тригонометрическую формулу косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.

Вынесем минус за скобки в выражении для $f(x)$:

$f(x) = - (\cos \frac{x}{5} \cos \frac{\pi}{10} - \sin \frac{x}{5} \sin \frac{\pi}{10})$.

Выражение в скобках соответствует формуле косинуса суммы, где $\alpha = \frac{x}{5}$ и $\beta = \frac{\pi}{10}$.

Тогда функция принимает вид:

$f(x) = -\cos(\frac{x}{5} + \frac{\pi}{10})$.

Основной период функции вида $y = A \cos(kx + \phi) + B$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

В нашем случае коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{5}$.

Следовательно, период функции $f(x)$ равен:

$T = \frac{2\pi}{|1/5|} = \frac{2\pi}{1/5} = 10\pi$.

Ответ: $10\pi$.