Страница 15 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

21.1) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+2}} + \sin\left(3 - \frac{x}{4}\right)$;

2) $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x-5}} + \cos\left(2 + \frac{x}{3}\right)$;

3) $f(x) = \frac{3}{2\sqrt{3-4x}} + \frac{1}{(x+2)^3}$;

4) $f(x) = \frac{4}{5\sqrt{2+3x}} - \frac{1}{(2-x)^4}$.

1)

Дано:

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+2}} + \sin(3 - \frac{x}{4})$

Найти:

Первообразную $F(x)$.

Решение:

Первообразная функции $f(x)$ находится путем интегрирования. Первообразная суммы функций равна сумме первообразных:

$F(x) = \int f(x) dx = \int (\frac{1}{\sqrt{x+2}} + \sin(3 - \frac{x}{4})) dx = \int \frac{1}{\sqrt{x+2}} dx + \int \sin(3 - \frac{x}{4}) dx$.

Найдем каждую первообразную по отдельности, используя табличные интегралы и правило интегрирования сложной функции $\int g(kx+b) dx = \frac{1}{k}G(kx+b) + C$, где $G(x)$ — первообразная для $g(x)$.

Для первого слагаемого: $\int \frac{1}{\sqrt{x+2}} dx = \int (x+2)^{-1/2} dx$.

Первообразная для степенной функции $x^n$ есть $\frac{x^{n+1}}{n+1}$. Здесь $n = -1/2$, $k=1$.

$\int (x+2)^{-1/2} dx = \frac{(x+2)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C_1 = \frac{(x+2)^{1/2}}{1/2} + C_1 = 2\sqrt{x+2} + C_1$.

Для второго слагаемого: $\int \sin(3 - \frac{x}{4}) dx$.

Первообразная для $\sin(x)$ есть $-\cos(x)$. Здесь $k = -1/4$.

$\int \sin(3 - \frac{x}{4}) dx = \frac{1}{-1/4} (-\cos(3 - \frac{x}{4})) + C_2 = 4\cos(3 - \frac{x}{4}) + C_2$.

Складывая результаты и объединяя константы $C_1$ и $C_2$ в одну константу $C$, получаем общую первообразную:

$F(x) = 2\sqrt{x+2} + 4\cos(3 - \frac{x}{4}) + C$.

Ответ: $F(x) = 2\sqrt{x+2} + 4\cos(3 - \frac{x}{4}) + C$.

2)

Дано:

$f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x-5}} + \cos(2 + \frac{x}{3})$

Найти:

Первообразную $F(x)$.

Решение:

Найдем первообразную $F(x)$ как интеграл от функции $f(x)$:

$F(x) = \int (\frac{1}{2\sqrt{x-5}} + \cos(2 + \frac{x}{3})) dx = \frac{1}{2}\int (x-5)^{-1/2} dx + \int \cos(2 + \frac{x}{3}) dx$.

Вычислим каждый интеграл.

Для первого интеграла: $n=-1/2, k=1$.

$\frac{1}{2}\int (x-5)^{-1/2} dx = \frac{1}{2} \frac{(x-5)^{1/2}}{1/2} + C_1 = \sqrt{x-5} + C_1$.

Для второго интеграла: первообразная для $\cos(x)$ есть $\sin(x)$, $k=1/3$.

$\int \cos(2 + \frac{x}{3}) dx = \frac{1}{1/3} \sin(2 + \frac{x}{3}) + C_2 = 3\sin(2 + \frac{x}{3}) + C_2$.

Суммируя результаты, получаем:

$F(x) = \sqrt{x-5} + 3\sin(2 + \frac{x}{3}) + C$.

Ответ: $F(x) = \sqrt{x-5} + 3\sin(2 + \frac{x}{3}) + C$.

3)

Дано:

$f(x) = \frac{3}{2\sqrt{3-4x}} + \frac{1}{(x+2)^3}$

Найти:

Первообразную $F(x)$.

Решение:

Первообразная $F(x)$ является интегралом от $f(x)$:

$F(x) = \int (\frac{3}{2\sqrt{3-4x}} + \frac{1}{(x+2)^3}) dx = \frac{3}{2} \int (3-4x)^{-1/2} dx + \int (x+2)^{-3} dx$.

Найдем интеграл от первого слагаемого. Здесь $n=-1/2, k=-4$.

$\frac{3}{2} \int (3-4x)^{-1/2} dx = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{-4} \frac{(3-4x)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C_1 = -\frac{3}{8} \frac{(3-4x)^{1/2}}{1/2} + C_1 = -\frac{3}{4}\sqrt{3-4x} + C_1$.

Найдем интеграл от второго слагаемого. Здесь $n=-3, k=1$.

$\int (x+2)^{-3} dx = \frac{(x+2)^{-3+1}}{-3+1} + C_2 = \frac{(x+2)^{-2}}{-2} + C_2 = -\frac{1}{2(x+2)^2} + C_2$.

Суммируя результаты, получаем общую первообразную:

$F(x) = -\frac{3}{4}\sqrt{3-4x} - \frac{1}{2(x+2)^2} + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{3}{4}\sqrt{3-4x} - \frac{1}{2(x+2)^2} + C$.

4)

Дано:

$f(x) = \frac{4}{5\sqrt{2+3x}} - \frac{1}{(2-x)^4}$

Найти:

Первообразную $F(x)$.

Решение:

Первообразная $F(x)$ является интегралом от $f(x)$:

$F(x) = \int (\frac{4}{5\sqrt{2+3x}} - \frac{1}{(2-x)^4}) dx = \frac{4}{5} \int (2+3x)^{-1/2} dx - \int (2-x)^{-4} dx$.

Найдем интеграл от первого слагаемого. Здесь $n=-1/2, k=3$.

$\frac{4}{5} \int (2+3x)^{-1/2} dx = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3} \frac{(2+3x)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C_1 = \frac{4}{15} \frac{(2+3x)^{1/2}}{1/2} + C_1 = \frac{8}{15}\sqrt{2+3x} + C_1$.

Найдем интеграл от второго слагаемого. Здесь $n=-4, k=-1$.

$\int (2-x)^{-4} dx = \frac{1}{-1} \frac{(2-x)^{-4+1}}{-4+1} + C_2 = - \frac{(2-x)^{-3}}{-3} + C_2 = \frac{1}{3(2-x)^3} + C_2$.

Вычитая вторую первообразную из первой, получаем:

$F(x) = \frac{8}{15}\sqrt{2+3x} - \frac{1}{3(2-x)^3} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{8}{15}\sqrt{2+3x} - \frac{1}{3(2-x)^3} + C$.

22. 1) $f(x) = \cos^2 \frac{x}{3} - \sin^2 \frac{x}{3};$

2) $f(x) = \sin \frac{x}{4} \cdot \cos \frac{x}{4};$

3) $f(x) = \operatorname{tg} \frac{x}{8} \cdot \operatorname{ctg} \frac{x}{8} + x^2;$

4) $f(x) = 1 - 2 \sin^2 \frac{x}{6}.$

1) Решение:
Для упрощения исходного выражения $f(x) = \cos^2\frac{x}{3} - \sin^2\frac{x}{3}$ используется формула косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
Если принять $\alpha = \frac{x}{3}$, то $2\alpha = 2 \cdot \frac{x}{3} = \frac{2x}{3}$.
Применяя эту формулу, получаем упрощенный вид функции:
$f(x) = \cos(\frac{2x}{3})$.
Ответ: $f(x) = \cos(\frac{2x}{3})$.

2) Решение:
Для упрощения исходного выражения $f(x) = \sin\frac{x}{4} \cdot \cos\frac{x}{4}$ используется формула синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
Из этой формулы можно выразить произведение синуса и косинуса: $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.
Если принять $\alpha = \frac{x}{4}$, то $2\alpha = 2 \cdot \frac{x}{4} = \frac{x}{2}$.
Применяя эту формулу, получаем:
$f(x) = \frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2})$.
Ответ: $f(x) = \frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2})$.

3) Решение:
В выражении $f(x) = \text{tg}\frac{x}{8} \cdot \text{ctg}\frac{x}{8} + x^2$ используется основное тригонометрическое тождество $\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1$.
Это тождество справедливо при условии, что $\alpha$ не является таким, при котором тангенс или котангенс не определены. В данном случае, в области определения функции, произведение $\text{tg}\frac{x}{8} \cdot \text{ctg}\frac{x}{8}$ равно 1.
Таким образом, функция упрощается до:
$f(x) = 1 + x^2$.
Ответ: $f(x) = 1 + x^2$.

4) Решение:
Для упрощения исходного выражения $f(x) = 1 - 2\sin^2\frac{x}{6}$ используется одна из форм формулы косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.
Если принять $\alpha = \frac{x}{6}$, то $2\alpha = 2 \cdot \frac{x}{6} = \frac{x}{3}$.
Применяя эту формулу, получаем:
$f(x) = \cos(\frac{x}{3})$.
Ответ: $f(x) = \cos(\frac{x}{3})$.

23. 1) $f(x) = \cos^2 x;$

2) $f(x) = \sin^2 x;$

3) $f(x) = \cos \frac{x}{4} \sin \frac{\pi}{9} - \sin \frac{x}{4} \cos \frac{\pi}{9};$

4) $f(x) = \sin \frac{x}{5} \cdot \sin \frac{\pi}{10} - \cos \frac{x}{5} \cdot \cos \frac{\pi}{10}.$

1) $f(x) = \cos^2 x$

Дано:

Функция $f(x) = \cos^2 x$.

Найти:

Основной период функции $T$.

Решение:

Для нахождения периода функции воспользуемся формулой понижения степени: $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

Применив эту формулу к нашей функции, получим:

$f(x) = \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2x)$.

Функция представляет собой сумму константы и косинусоиды. Период такой функции определяется периодом косинусоиды.

Основной период функции вида $y = A \cos(kx + \phi) + B$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

В нашем случае $k = 2$.

Следовательно, период функции $f(x)$ равен:

$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Ответ: $\pi$.

2) $f(x) = \sin^2 x$

Дано:

Функция $f(x) = \sin^2 x$.

Найти:

Основной период функции $T$.

Решение:

Для нахождения периода функции воспользуемся формулой понижения степени: $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.

Применив эту формулу к нашей функции, получим:

$f(x) = \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x)$.

Период данной функции определяется периодом функции $\cos(2x)$.

Основной период функции вида $y = A \cos(kx + \phi) + B$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

В нашем случае $k = 2$.

Следовательно, период функции $f(x)$ равен:

$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

Ответ: $\pi$.

3) $f(x) = \cos \frac{x}{4} \sin \frac{\pi}{9} - \sin \frac{x}{4} \cos \frac{\pi}{9}$

Дано:

Функция $f(x) = \cos \frac{x}{4} \sin \frac{\pi}{9} - \sin \frac{x}{4} \cos \frac{\pi}{9}$.

Найти:

Основной период функции $T$.

Решение:

Упростим выражение для функции $f(x)$, используя тригонометрическую формулу синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$.

Перепишем исходную функцию в виде, удобном для применения формулы:

$f(x) = \sin \frac{\pi}{9} \cos \frac{x}{4} - \cos \frac{\pi}{9} \sin \frac{x}{4}$.

Здесь можно положить $\alpha = \frac{\pi}{9}$ и $\beta = \frac{x}{4}$.

Тогда функция принимает вид:

$f(x) = \sin(\frac{\pi}{9} - \frac{x}{4})$.

Основной период функции вида $y = A \sin(kx + \phi) + B$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

В нашем случае коэффициент при $x$ равен $k = -\frac{1}{4}$.

Следовательно, период функции $f(x)$ равен:

$T = \frac{2\pi}{|-1/4|} = \frac{2\pi}{1/4} = 8\pi$.

Ответ: $8\pi$.

4) $f(x) = \sin \frac{x}{5} \sin \frac{\pi}{10} - \cos \frac{x}{5} \cos \frac{\pi}{10}$

Дано:

Функция $f(x) = \sin \frac{x}{5} \sin \frac{\pi}{10} - \cos \frac{x}{5} \cos \frac{\pi}{10}$.

Найти:

Основной период функции $T$.

Решение:

Упростим выражение для функции $f(x)$, используя тригонометрическую формулу косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.

Вынесем минус за скобки в выражении для $f(x)$:

$f(x) = - (\cos \frac{x}{5} \cos \frac{\pi}{10} - \sin \frac{x}{5} \sin \frac{\pi}{10})$.

Выражение в скобках соответствует формуле косинуса суммы, где $\alpha = \frac{x}{5}$ и $\beta = \frac{\pi}{10}$.

Тогда функция принимает вид:

$f(x) = -\cos(\frac{x}{5} + \frac{\pi}{10})$.

Основной период функции вида $y = A \cos(kx + \phi) + B$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

В нашем случае коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{5}$.

Следовательно, период функции $f(x)$ равен:

$T = \frac{2\pi}{|1/5|} = \frac{2\pi}{1/5} = 10\pi$.

Ответ: $10\pi$.

Найдите первообразную F(x) для функции f(x), удовлетворяющую условию F(a)=b (24–25):

24. 1) $f(x) = \frac{2}{(2x+5)^2}$, $F(-2)=\frac{1}{2}$;

2) $f(x) = \frac{1}{\left(\frac{x}{2}+3\right)^3}$, $F(-4)=3.

1)

Дано:

$f(x) = \frac{2}{(2x + 5)^2}$

$F(-2) = \frac{1}{2}$

Найти:

Первообразную $F(x)$.

Решение:

Общий вид первообразной для функции $f(x)$ находится через неопределенный интеграл:

$F(x) = \int f(x) dx = \int \frac{2}{(2x + 5)^2} dx$

Вынесем константу за знак интеграла и представим подынтегральную функцию в виде степени:

$F(x) = 2 \int (2x + 5)^{-2} dx$

Для нахождения интеграла воспользуемся формулой $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \cdot \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

В данном случае $k=2$, $b=5$, $n=-2$.

$F(x) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x+5)^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{(2x+5)^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{2x+5} + C$.

Мы получили общий вид первообразной. Теперь, используя условие $F(-2) = \frac{1}{2}$, найдем значение константы $C$.

Подставим $x = -2$ в полученное выражение для $F(x)$:

$F(-2) = -\frac{1}{2(-2)+5} + C = -\frac{1}{-4+5} + C = -\frac{1}{1} + C = -1 + C$.

Так как по условию $F(-2) = \frac{1}{2}$, получаем уравнение:

$-1 + C = \frac{1}{2}$

$C = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Таким образом, искомая первообразная имеет вид:

$F(x) = -\frac{1}{2x+5} + \frac{3}{2}$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2x+5} + \frac{3}{2}$.

2)

Дано:

$f(x) = \frac{1}{(\frac{x}{2} + 3)^3}$

$F(-4) = 3$

Найти:

Первообразную $F(x)$.

Решение:

Общий вид первообразной для функции $f(x)$ находится через неопределенный интеграл:

$F(x) = \int f(x) dx = \int \frac{1}{(\frac{x}{2} + 3)^3} dx = \int (\frac{1}{2}x + 3)^{-3} dx$.

Для нахождения интеграла воспользуемся формулой $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \cdot \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

В данном случае $k=\frac{1}{2}$, $b=3$, $n=-3$.

$F(x) = \frac{1}{\frac{1}{2}} \cdot \frac{(\frac{1}{2}x+3)^{-3+1}}{-3+1} + C = 2 \cdot \frac{(\frac{x}{2}+3)^{-2}}{-2} + C = -(\frac{x}{2}+3)^{-2} + C = -\frac{1}{(\frac{x}{2}+3)^2} + C$.

Мы получили общий вид первообразной. Теперь, используя условие $F(-4) = 3$, найдем значение константы $C$.

Подставим $x = -4$ в полученное выражение для $F(x)$:

$F(-4) = -\frac{1}{(\frac{-4}{2}+3)^2} + C = -\frac{1}{(-2+3)^2} + C = -\frac{1}{1^2} + C = -1 + C$.

Так как по условию $F(-4) = 3$, получаем уравнение:

$-1 + C = 3$

$C = 3 + 1 = 4$.

Таким образом, искомая первообразная имеет вид:

$F(x) = -\frac{1}{(\frac{x}{2}+3)^2} + 4$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{(\frac{x}{2}+3)^2} + 4$.

25.1) $f(x) = \frac{1}{\cos^2\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)}$, $F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$;

2) $f(x) = \frac{1}{\sin^2\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)}$, $F\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{8\sqrt{3}}{9}$.

1)

Дано:

$f(x) = \frac{1}{\cos^2(2x - \frac{\pi}{4})}$

$F(\frac{\pi}{4}) = 1$

Найти:

Первообразную $F(x)$.

Решение:

По определению, первообразная $F(x)$ для функции $f(x)$ находится путем интегрирования функции $f(x)$. Общий вид первообразной представляет собой неопределенный интеграл.

$F(x) = \int f(x) \,dx = \int \frac{1}{\cos^2(2x - \frac{\pi}{4})} \,dx$

Для нахождения этого интеграла воспользуемся табличным интегралом для сложной функции $\int \frac{1}{\cos^2(kx+b)} \,dx = \frac{1}{k}\tan(kx+b) + C$.

В нашем случае коэффициент $k=2$ и сдвиг $b = -\frac{\pi}{4}$.

Следовательно, общий вид первообразной для данной функции:

$F(x) = \frac{1}{2}\tan(2x - \frac{\pi}{4}) + C$, где $C$ - произвольная постоянная интегрирования.

Чтобы найти конкретную первообразную, удовлетворяющую заданному условию, необходимо найти значение константы $C$. Используем условие $F(\frac{\pi}{4}) = 1$. Подставим $x = \frac{\pi}{4}$ в найденное выражение для $F(x)$:

$F(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}\tan(2 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) + C = 1$

Упростим выражение в аргументе тангенса:

$\frac{1}{2}\tan(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) + C = 1$

$\frac{1}{2}\tan(\frac{\pi}{4}) + C = 1$

Так как значение тангенса $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем уравнение для $C$:

$\frac{1}{2} \cdot 1 + C = 1$

$\frac{1}{2} + C = 1$

$C = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Теперь подставляем найденное значение $C = \frac{1}{2}$ в общее выражение для первообразной.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{2}\tan(2x - \frac{\pi}{4}) + \frac{1}{2}$

2)

Дано:

$f(x) = \frac{1}{\sin^2(3x - \frac{\pi}{6})}$

$F(\frac{\pi}{6}) = \frac{8\sqrt{3}}{9}$

Найти:

Первообразную $F(x)$.

Решение:

Общий вид первообразной $F(x)$ для функции $f(x)$ находится как неопределенный интеграл от $f(x)$.

$F(x) = \int f(x) \,dx = \int \frac{1}{\sin^2(3x - \frac{\pi}{6})} \,dx$

Используем табличный интеграл для сложной функции $\int \frac{1}{\sin^2(kx+b)} \,dx = -\frac{1}{k}\cot(kx+b) + C$.

В данном случае коэффициент $k=3$ и сдвиг $b = -\frac{\pi}{6}$.

Следовательно, общий вид первообразной для данной функции:

$F(x) = -\frac{1}{3}\cot(3x - \frac{\pi}{6}) + C$, где $C$ - произвольная постоянная интегрирования.

Для нахождения константы $C$ используем заданное условие $F(\frac{\pi}{6}) = \frac{8\sqrt{3}}{9}$. Подставим $x = \frac{\pi}{6}$ в полученное выражение для $F(x)$:

$F(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{3}\cot(3 \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6}) + C = \frac{8\sqrt{3}}{9}$

Упростим выражение в аргументе котангенса:

$-\frac{1}{3}\cot(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) + C = \frac{8\sqrt{3}}{9}$

$-\frac{1}{3}\cot(\frac{3\pi - \pi}{6}) + C = \frac{8\sqrt{3}}{9}$

$-\frac{1}{3}\cot(\frac{2\pi}{6}) + C = \frac{8\sqrt{3}}{9}$

$-\frac{1}{3}\cot(\frac{\pi}{3}) + C = \frac{8\sqrt{3}}{9}$

Так как значение котангенса $\cot(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, получаем уравнение для $C$:

$-\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} + C = \frac{8\sqrt{3}}{9}$

$-\frac{\sqrt{3}}{9} + C = \frac{8\sqrt{3}}{9}$

$C = \frac{8\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3}}{9}$

$C = \frac{9\sqrt{3}}{9} = \sqrt{3}$

Теперь подставляем найденное значение $C = \sqrt{3}$ в общее выражение для первообразной.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{3}\cot(3x - \frac{\pi}{6}) + \sqrt{3}$

26. Ускорение прямолинейно движущейся точки изменяется по закону $a = 2t$ (время $t$ измеряется в секундах, ускорение — в м/с²). Как изменится закон движения тела, если:

1) через 1 с после начала движения точка пройдет 10 м и скорость будет 4 м/с;

2) через 2 с скорость будет 6 м/с, а после 3 с пройдет 40 м?

Закон изменения ускорения точки задан функцией $a(t) = 2t$. Скорость $v(t)$ и закон движения (координата) $x(t)$ находятся последовательным интегрированием функции ускорения.

Сначала найдем общий вид для функции скорости: $v(t) = \int a(t) dt = \int 2t \, dt = t^2 + C_1$, где $C_1$ — постоянная интегрирования (начальная скорость $v_0$).

Затем найдем общий вид для закона движения, интегрируя функцию скорости: $x(t) = \int v(t) dt = \int (t^2 + C_1) dt = \frac{t^3}{3} + C_1 t + C_2$, где $C_2$ — постоянная интегрирования (начальная координата $x_0$).

Для определения конкретного закона движения в каждом из случаев необходимо найти значения констант $C_1$ и $C_2$, используя данные условия. В данном решении будем считать, что условие "точка пройдет N м" означает, что ее координата станет равна N (т.е. $x = N$), так как трактовка этого условия как пройденного пути ($S = x(t) - x(0) = N$) приводит к противоречию в данных задачи.

1) через 1 с после начала движения точка пройдет 10 м и скорость будет 4 м/с;

Дано:

$t_1 = 1$ с

$x(t_1) = 10$ м

$v(t_1) = 4$ м/с

Найти:

Закон движения $x(t)$.

Решение:

Используем заданные условия для нахождения констант $C_1$ и $C_2$. Подставим в общий вид скорости $v(t) = t^2 + C_1$ условие $v(1) = 4$: $4 = 1^2 + C_1$ $4 = 1 + C_1$ $C_1 = 3$ (м/с).

Теперь закон изменения скорости имеет вид: $v(t) = t^2 + 3$. Подставим найденное значение $C_1 = 3$ в общий вид закона движения: $x(t) = \frac{t^3}{3} + 3t + C_2$.

Используем второе условие $x(1) = 10$: $10 = \frac{1^3}{3} + 3 \cdot 1 + C_2$ $10 = \frac{1}{3} + 3 + C_2$ $10 = \frac{10}{3} + C_2$ $C_2 = 10 - \frac{10}{3} = \frac{30 - 10}{3} = \frac{20}{3}$ (м).

Таким образом, искомый закон движения тела в данном случае: $x(t) = \frac{t^3}{3} + 3t + \frac{20}{3}$.

Ответ: $x(t) = \frac{t^3}{3} + 3t + \frac{20}{3}$.

2) через 2 с скорость будет 6 м/с, а после 3 с пройдет 40 м?

Дано:

$t_1 = 2$ с

$v(t_1) = 6$ м/с

$t_2 = 3$ с

$x(t_2) = 40$ м

Найти:

Закон движения $x(t)$.

Решение:

Аналогично первому пункту, найдем константы $C_1$ и $C_2$ из общих видов законов $v(t) = t^2 + C_1$ и $x(t) = \frac{t^3}{3} + C_1 t + C_2$.

Из условия для скорости при $t=2$ с: $6 = 2^2 + C_1$ $6 = 4 + C_1$ $C_1 = 2$ (м/с).

Теперь закон изменения скорости имеет вид: $v(t) = t^2 + 2$. Подставим найденное значение $C_1 = 2$ в общий вид закона движения: $x(t) = \frac{t^3}{3} + 2t + C_2$.

Используем второе условие $x(3) = 40$: $40 = \frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3 + C_2$ $40 = \frac{27}{3} + 6 + C_2$ $40 = 9 + 6 + C_2$ $40 = 15 + C_2$ $C_2 = 40 - 15 = 25$ (м).

Таким образом, искомый закон движения тела в данном случае: $x(t) = \frac{t^3}{3} + 2t + 25$.

Ответ: $x(t) = \frac{t^3}{3} + 2t + 25$.