Номер 26, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

26. Ускорение прямолинейно движущейся точки изменяется по закону $a = 2t$ (время $t$ измеряется в секундах, ускорение — в м/с²). Как изменится закон движения тела, если:

1) через 1 с после начала движения точка пройдет 10 м и скорость будет 4 м/с;

2) через 2 с скорость будет 6 м/с, а после 3 с пройдет 40 м?

Закон изменения ускорения точки задан функцией $a(t) = 2t$. Скорость $v(t)$ и закон движения (координата) $x(t)$ находятся последовательным интегрированием функции ускорения.

Сначала найдем общий вид для функции скорости: $v(t) = \int a(t) dt = \int 2t \, dt = t^2 + C_1$, где $C_1$ — постоянная интегрирования (начальная скорость $v_0$).

Затем найдем общий вид для закона движения, интегрируя функцию скорости: $x(t) = \int v(t) dt = \int (t^2 + C_1) dt = \frac{t^3}{3} + C_1 t + C_2$, где $C_2$ — постоянная интегрирования (начальная координата $x_0$).

Для определения конкретного закона движения в каждом из случаев необходимо найти значения констант $C_1$ и $C_2$, используя данные условия. В данном решении будем считать, что условие "точка пройдет N м" означает, что ее координата станет равна N (т.е. $x = N$), так как трактовка этого условия как пройденного пути ($S = x(t) - x(0) = N$) приводит к противоречию в данных задачи.

1) через 1 с после начала движения точка пройдет 10 м и скорость будет 4 м/с;

Дано:

$t_1 = 1$ с

$x(t_1) = 10$ м

$v(t_1) = 4$ м/с

Найти:

Закон движения $x(t)$.

Решение:

Используем заданные условия для нахождения констант $C_1$ и $C_2$. Подставим в общий вид скорости $v(t) = t^2 + C_1$ условие $v(1) = 4$: $4 = 1^2 + C_1$ $4 = 1 + C_1$ $C_1 = 3$ (м/с).

Теперь закон изменения скорости имеет вид: $v(t) = t^2 + 3$. Подставим найденное значение $C_1 = 3$ в общий вид закона движения: $x(t) = \frac{t^3}{3} + 3t + C_2$.

Используем второе условие $x(1) = 10$: $10 = \frac{1^3}{3} + 3 \cdot 1 + C_2$ $10 = \frac{1}{3} + 3 + C_2$ $10 = \frac{10}{3} + C_2$ $C_2 = 10 - \frac{10}{3} = \frac{30 - 10}{3} = \frac{20}{3}$ (м).

Таким образом, искомый закон движения тела в данном случае: $x(t) = \frac{t^3}{3} + 3t + \frac{20}{3}$.

Ответ: $x(t) = \frac{t^3}{3} + 3t + \frac{20}{3}$.

2) через 2 с скорость будет 6 м/с, а после 3 с пройдет 40 м?

Дано:

$t_1 = 2$ с

$v(t_1) = 6$ м/с

$t_2 = 3$ с

$x(t_2) = 40$ м

Найти:

Закон движения $x(t)$.

Решение:

Аналогично первому пункту, найдем константы $C_1$ и $C_2$ из общих видов законов $v(t) = t^2 + C_1$ и $x(t) = \frac{t^3}{3} + C_1 t + C_2$.

Из условия для скорости при $t=2$ с: $6 = 2^2 + C_1$ $6 = 4 + C_1$ $C_1 = 2$ (м/с).

Теперь закон изменения скорости имеет вид: $v(t) = t^2 + 2$. Подставим найденное значение $C_1 = 2$ в общий вид закона движения: $x(t) = \frac{t^3}{3} + 2t + C_2$.

Используем второе условие $x(3) = 40$: $40 = \frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3 + C_2$ $40 = \frac{27}{3} + 6 + C_2$ $40 = 9 + 6 + C_2$ $40 = 15 + C_2$ $C_2 = 40 - 15 = 25$ (м).

Таким образом, искомый закон движения тела в данном случае: $x(t) = \frac{t^3}{3} + 2t + 25$.

Ответ: $x(t) = \frac{t^3}{3} + 2t + 25$.