Номер 32, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

32. 1) $y=3x^2 - 4x$, $y=0$, $x=-2$, $x=-1$;

2) $y=3x-x^2$, $y=0$, $x=2$, $x=1$.

1)

Дано:

Фигура ограничена линиями: $y = 3x^2 - 4x$, $y = 0$, $x = -2$, $x = -1$.

Найти:

Площадь $S$ данной фигуры.

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется с помощью определенного интеграла. Если функция $f(x)$ непрерывна и не меняет знак на отрезке $[a, b]$, то площадь $S$ равна $S = \int_a^b |f(x)| dx$.

В нашем случае $f(x) = 3x^2 - 4x$, $a=-2$, $b=-1$.

Определим знак функции $f(x)$ на отрезке $[-2, -1]$. Найдем нули функции, решив уравнение $f(x)=0$:

$3x^2 - 4x = 0$

$x(3x - 4) = 0$

Нули функции: $x_1=0$ и $x_2=\frac{4}{3}$.

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, функция положительна при $x < 0$ и $x > \frac{4}{3}$. Так как отрезок интегрирования $[-2, -1]$ полностью лежит в области $x < 0$, то на этом отрезке функция $f(x) \ge 0$.

Таким образом, площадь фигуры вычисляется по формуле:

$S = \int_{-2}^{-1} (3x^2 - 4x)dx$

Для вычисления интеграла используем формулу Ньютона-Лейбница $S = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Найдем первообразную: $F(x) = \int (3x^2 - 4x)dx = 3\frac{x^3}{3} - 4\frac{x^2}{2} = x^3 - 2x^2$.

Вычислим значение определенного интеграла:

$S = F(-1) - F(-2) = ((-1)^3 - 2(-1)^2) - ((-2)^3 - 2(-2)^2)$

$S = (-1 - 2 \cdot 1) - (-8 - 2 \cdot 4) = (-1 - 2) - (-8 - 8) = -3 - (-16) = -3 + 16 = 13$.

Ответ: 13.

2)

Дано:

Фигура ограничена линиями: $y = 3x - x^2$, $y = 0$, $x = 2$, $x = 1$.

Найти:

Площадь $S$ данной фигуры.

Решение:

Площадь фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла. В данном случае $f(x) = 3x - x^2$, а пределы интегрирования $a=1$ и $b=2$.

Определим знак функции $f(x)$ на отрезке $[1, 2]$. Найдем нули функции, решив уравнение $f(x)=0$:

$3x - x^2 = 0$

$x(3 - x) = 0$

Нули функции: $x_1=0$ и $x_2=3$.

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, функция положительна на интервале $(0, 3)$. Так как отрезок интегрирования $[1, 2]$ полностью принадлежит этому интервалу, то на нем функция $f(x) \ge 0$.

Площадь фигуры можно вычислить по формуле:

$S = \int_{1}^{2} (3x - x^2)dx$

Для вычисления интеграла используем формулу Ньютона-Лейбница. Сначала найдем первообразную для $f(x)$:

$F(x) = \int (3x - x^2)dx = 3\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}$.

Теперь вычислим значение определенного интеграла:

$S = F(2) - F(1) = \left( \frac{3 \cdot 2^2}{2} - \frac{2^3}{3} \right) - \left( \frac{3 \cdot 1^2}{2} - \frac{1^3}{3} \right)$

$S = \left( \frac{3 \cdot 4}{2} - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{3}{2} - \frac{1}{3} \right) = \left( 6 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{9}{6} - \frac{2}{6} \right)$

$S = \left( \frac{18}{3} - \frac{8}{3} \right) - \frac{7}{6} = \frac{10}{3} - \frac{7}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$S = \frac{10 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{7}{6} = \frac{20}{6} - \frac{7}{6} = \frac{13}{6}$.

Ответ: $\frac{13}{6}$.