Номер 30, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

30. Вычислите площади криволинейных трапеций, данных на рис. 8.

1 y

x

4

-1

O

1

$y=x^2-2x+1$

2 y

x

3

O

2

$y=2+2x-x^2$

3 y

x

4

-2

O

2

$y=x^2$

4 y

x

3

O

$\frac{\pi}{4}$

$\frac{\pi}{2}$

$\pi$

$y=3\sin x$

Рис. 8

1

Дано: криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y = x^2 - 2x + 1$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=-1$, $x=0$.

Найти: площадь $S_1$ данной криволинейной трапеции.

Решение: Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $f(x)$, осью абсцисс и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница: $S = \int_a^b f(x) \,dx$. В данном случае $f(x) = x^2 - 2x + 1$, что можно записать как $(x-1)^2$. Эта функция неотрицательна при всех значениях $x$. Пределами интегрирования являются $a = -1$ и $b = 0$. Вычислим определенный интеграл: $S_1 = \int_{-1}^{0} (x^2 - 2x + 1) \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + x \right]_{-1}^{0} = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + x \right]_{-1}^{0}$. Подставим пределы интегрирования: $S_1 = (\frac{0^3}{3} - 0^2 + 0) - (\frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 + (-1)) = 0 - (-\frac{1}{3} - 1 - 1) = 0 - (-\frac{7}{3}) = \frac{7}{3}$.

Ответ: $S_1 = \frac{7}{3}$.

2

Дано: криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y = 2 + 2x - x^2$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=0$, $x=2$.

Найти: площадь $S_2$ данной криволинейной трапеции.

Решение: Используем формулу $S = \int_a^b f(x) \,dx$. Здесь $f(x) = 2 + 2x - x^2$. Для проверки неотрицательности функции на отрезке $[0, 2]$ найдем ее вершину: $x_v = -\frac{2}{2(-1)} = 1$. Значение в вершине $y_v = 2 + 2(1) - 1^2 = 3$. Так как ветви параболы направлены вниз, а вершина находится в точке $(1, 3)$, на отрезке $[0, 2]$ функция положительна. Пределами интегрирования являются $a = 0$ и $b = 2$. $S_2 = \int_{0}^{2} (2 + 2x - x^2) \,dx = \left[ 2x + 2\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left[ 2x + x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}$. Подставляем пределы: $S_2 = (2(2) + 2^2 - \frac{2^3}{3}) - (2(0) + 0^2 - \frac{0^3}{3}) = (4 + 4 - \frac{8}{3}) - 0 = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24-8}{3} = \frac{16}{3}$.

Ответ: $S_2 = \frac{16}{3}$.

3

Дано: криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y = x^2$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=-2$, $x=2$.

Найти: площадь $S_3$ данной криволинейной трапеции.

Решение: Используем формулу $S = \int_a^b f(x) \,dx$. Здесь $f(x) = x^2$, функция неотрицательна при всех $x$. Пределы интегрирования $a=-2, b=2$. Функция $y=x^2$ является четной, а отрезок интегрирования $[-2, 2]$ симметричен относительно нуля. Поэтому можно вычислить интеграл на отрезке $[0, 2]$ и удвоить результат: $S_3 = \int_{-2}^{2} x^2 \,dx = 2 \int_{0}^{2} x^2 \,dx$. $S_3 = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = 2 \cdot (\frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3}) = 2 \cdot \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$. Проверим прямым вычислением: $S_3 = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{(-2)^3}{3} = \frac{8}{3} - (-\frac{8}{3}) = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$.

Ответ: $S_3 = \frac{16}{3}$.

4

Дано: криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y = 3\sin(x)$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=\frac{\pi}{4}$, $x=\pi$.

Найти: площадь $S_4$ данной криволинейной трапеции.

Решение: Используем формулу $S = \int_a^b f(x) \,dx$. Здесь $f(x) = 3\sin(x)$. На отрезке $[\frac{\pi}{4}, \pi]$ функция $\sin(x)$ неотрицательна, следовательно, и $f(x)$ неотрицательна. Пределы интегрирования $a=\frac{\pi}{4}, b=\pi$. $S_4 = \int_{\pi/4}^{\pi} 3\sin(x) \,dx = 3 \int_{\pi/4}^{\pi} \sin(x) \,dx = 3 [-\cos(x)]_{\pi/4}^{\pi} = -3[\cos(x)]_{\pi/4}^{\pi}$. Подставляем пределы: $S_4 = -3(\cos(\pi) - \cos(\frac{\pi}{4})) = -3(-1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) = 3 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $S_4 = 3 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$.