Номер 29, страница 19 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

29.1) $y = x^3 + 1$, $y = 0$, $x = -1$, $x = 2;$

2) $y = 1 - x^3$, $y = 0$, $x = -2$, $x = 1.$

1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^3 + 1$, $y = 0$, $x = -1$, $x = 2$.

Дано:
Фигура ограничена линиями:
$y = x^3 + 1$
$y = 0$ (ось Ox)
$x = -1$
$x = 2$

Найти:
Площадь S указанной фигуры.

Решение:
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле определенного интеграла:$S = \int_{a}^{b} |f(x)| \,dx$
В данном случае $f(x) = x^3 + 1$, $a = -1$, $b = 2$.
Исследуем знак функции $f(x) = x^3 + 1$ на отрезке $[-1, 2]$.
Найдем корень уравнения $x^3 + 1 = 0$:
$x^3 = -1 \implies x = -1$.
На интервале $(-1, 2]$ функция $x^3 > -1$, следовательно $x^3 + 1 > 0$.Таким образом, функция $f(x) = x^3 + 1$ является неотрицательной на всем отрезке интегрирования $[-1, 2]$.
Следовательно, $|f(x)| = f(x)$, и площадь можно вычислить как:
$S = \int_{-1}^{2} (x^3 + 1) \,dx$
Найдем первообразную для подынтегральной функции:
$F(x) = \int (x^3 + 1) \,dx = \frac{x^4}{4} + x$
Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:
$S = F(b) - F(a) = \left[ \frac{x^4}{4} + x \right]_{-1}^{2} = \left(\frac{2^4}{4} + 2\right) - \left(\frac{(-1)^4}{4} + (-1)\right)$
$S = \left(\frac{16}{4} + 2\right) - \left(\frac{1}{4} - 1\right) = (4 + 2) - \left(-\frac{3}{4}\right) = 6 + \frac{3}{4} = \frac{27}{4} = 6.75$ (кв. ед.)
Ответ: $S = \frac{27}{4}$ кв. ед.

2) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 1 - x^3$, $y = 0$, $x = -2$, $x = 1$.

Дано:
Фигура ограничена линиями:
$y = 1 - x^3$
$y = 0$ (ось Ox)
$x = -2$
$x = 1$

Найти:
Площадь S указанной фигуры.

Решение:
Площадь фигуры вычисляется по формуле определенного интеграла:$S = \int_{a}^{b} |f(x)| \,dx$
В данном случае $f(x) = 1 - x^3$, $a = -2$, $b = 1$.
Исследуем знак функции $f(x) = 1 - x^3$ на отрезке $[-2, 1]$.
Найдем корень уравнения $1 - x^3 = 0$:
$x^3 = 1 \implies x = 1$.
На интервале $[-2, 1)$ справедливо неравенство $x < 1$, следовательно $x^3 < 1$ и $1 - x^3 > 0$.Таким образом, функция $f(x) = 1 - x^3$ является неотрицательной на всем отрезке интегрирования $[-2, 1]$.
Следовательно, $|f(x)| = f(x)$, и площадь можно вычислить как:
$S = \int_{-2}^{1} (1 - x^3) \,dx$
Найдем первообразную для подынтегральной функции:
$F(x) = \int (1 - x^3) \,dx = x - \frac{x^4}{4}$
Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:
$S = F(b) - F(a) = \left[ x - \frac{x^4}{4} \right]_{-2}^{1} = \left(1 - \frac{1^4}{4}\right) - \left(-2 - \frac{(-2)^4}{4}\right)$
$S = \left(1 - \frac{1}{4}\right) - \left(-2 - \frac{16}{4}\right) = \frac{3}{4} - (-2 - 4) = \frac{3}{4} - (-6) = \frac{3}{4} + 6 = \frac{27}{4} = 6.75$ (кв. ед.)
Ответ: $S = \frac{27}{4}$ кв. ед.