Номер 36, страница 21 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

36. 1) $f(x) = 0,5x + 1,5$, $[-3; -1]$ и $g(x) = -x^2 - 2x$, $[-1; 0];$

2) $f(x) = x^2 + 4x + 4$, $[-2; -1]$ и $g(x) = -x$, $[-1; 0].$

1)

Данная задача заключается в анализе и построении графика кусочно-заданной функции. Функция определена двумя выражениями на двух последовательных интервалах.

Первая часть графика задана линейной функцией $f(x) = 0,5x + 1,5$ на отрезке $[-3; -1]$. Графиком этой функции является отрезок прямой. Для его построения найдем координаты конечных точек.

При $x = -3$ значение функции равно: $f(-3) = 0,5 \cdot (-3) + 1,5 = -1,5 + 1,5 = 0$. Это точка с координатами $(-3, 0)$.

При $x = -1$ значение функции равно: $f(-1) = 0,5 \cdot (-1) + 1,5 = -0,5 + 1,5 = 1$. Это точка с координатами $(-1, 1)$.

Следовательно, первая часть графика — это отрезок прямой, соединяющий точки $(-3, 0)$ и $(-1, 1)$.

Вторая часть графика задана квадратичной функцией $g(x) = -x^2 - 2x$ на отрезке $[-1; 0]$. Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-1$), ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -b/(2a)$:

$x_v = -(-2) / (2 \cdot (-1)) = 2 / (-2) = -1$.

Ордината вершины: $g(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) = -1 + 2 = 1$.

Вершина параболы находится в точке $(-1, 1)$. Эта точка является также концом первого отрезка, что означает, что график функции непрерывен в точке $x = -1$.

Теперь найдем значение функции на правом конце отрезка, при $x = 0$:

$g(0) = -0^2 - 2 \cdot 0 = 0$. Это точка с координатами $(0, 0)$.

Таким образом, вторая часть графика — это дуга параболы, идущая от её вершины в точке $(-1, 1)$ до точки $(0, 0)$.

График всей функции представлен ниже:

Ответ: График функции является непрерывной линией, состоящей из отрезка прямой, соединяющего точки $(-3, 0)$ и $(-1, 1)$, и следующей за ним дуги параболы с вершиной в точке $(-1, 1)$ и проходящей через точку $(0, 0)$.

2)

В этой задаче также требуется построить график кусочно-заданной функции.

Первая часть задана квадратичной функцией $f(x) = x^2 + 4x + 4$ на отрезке $[-2; -1]$. Это выражение является полным квадратом: $f(x) = (x + 2)^2$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен.

Найдём координаты вершины параболы: $x_v = -4 / (2 \cdot 1) = -2$.

Ордината вершины: $f(-2) = (-2 + 2)^2 = 0$.

Вершина параболы находится в точке $(-2, 0)$, которая является левой границей данного отрезка.

Вычислим значение функции на правой границе отрезка, при $x = -1$:

$f(-1) = (-1 + 2)^2 = 1^2 = 1$. Это точка $(-1, 1)$.

Таким образом, первая часть графика — это дуга параболы, идущая от её вершины в точке $(-2, 0)$ до точки $(-1, 1)$.

Вторая часть графика задана линейной функцией $g(x) = -x$ на отрезке $[-1; 0]$. Её график — отрезок прямой.

Найдем значения функции на концах этого отрезка:

При $x = -1$: $g(-1) = -(-1) = 1$. Это точка $(-1, 1)$, которая совпадает с конечной точкой первой части графика. Следовательно, функция непрерывна в $x = -1$.

При $x = 0$: $g(0) = -0 = 0$. Это точка $(0, 0)$.

Вторая часть графика — это отрезок прямой, соединяющий точки $(-1, 1)$ и $(0, 0)$.

График всей функции представлен ниже:

Ответ: График функции является непрерывной линией, которая состоит из дуги параболы с вершиной в точке $(-2, 0)$, доходящей до точки $(-1, 1)$, и отрезка прямой, соединяющего точки $(-1, 1)$ и $(0, 0)$.