Номер 42, страница 24 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

42. 1) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos x + 1)dx;$

2) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^0 (1 - \sin x)dx;$

3) $\int_{-\frac{\pi}{4}}^0 (3 - 5\cos x)dx;$

4) $\int_0^{\frac{\pi}{4}} (4\sin x + 3)dx.$

1)

Дано:

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos x + 1)dx $

Найти:

Значение интеграла.

Решение:

Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ - первообразная для функции $ f(x) $.

1. Найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = \cos x + 1 $. Первообразной для $ \cos x $ является $ \sin x $, а для $ 1 $ - $ x $. Таким образом, первообразная для всей функции будет $ F(x) = \sin x + x $.

2. Подставим пределы интегрирования в первообразную:

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos x + 1)dx = (\sin x + x) \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{2}\right) - (\sin(0) + 0) $

3. Вычислим значения тригонометрических функций: $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $ и $ \sin(0) = 0 $.

4. Подставим эти значения в выражение:

$ \left(1 + \frac{\pi}{2}\right) - (0 + 0) = 1 + \frac{\pi}{2} $

Ответ: $ 1 + \frac{\pi}{2} $.

2)

Дано:

$ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} (1 - \sin x)dx $

Найти:

Значение интеграла.

Решение:

Используем формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $.

1. Найдем первообразную для $ f(x) = 1 - \sin x $. Первообразная для $ 1 $ есть $ x $, а для $ -\sin x $ есть $ \cos x $. Таким образом, $ F(x) = x + \cos x $.

2. Подставим пределы интегрирования:

$ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} (1 - \sin x)dx = (x + \cos x) \Big|_{-\frac{\pi}{2}}^{0} = (0 + \cos(0)) - \left(-\frac{\pi}{2} + \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) $

3. Вычислим значения: $ \cos(0) = 1 $ и $ \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $ (так как косинус - четная функция).

4. Подставим значения в выражение:

$ (0 + 1) - \left(-\frac{\pi}{2} + 0\right) = 1 - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = 1 + \frac{\pi}{2} $

Ответ: $ 1 + \frac{\pi}{2} $.

3)

Дано:

$ \int_{-\frac{\pi}{4}}^{0} (3 - 5\cos x)dx $

Найти:

Значение интеграла.

Решение:

Применяем формулу Ньютона-Лейбница.

1. Найдем первообразную для $ f(x) = 3 - 5\cos x $. Первообразная для $ 3 $ есть $ 3x $, а для $ -5\cos x $ есть $ -5\sin x $. Следовательно, $ F(x) = 3x - 5\sin x $.

2. Подставим пределы интегрирования:

$ \int_{-\frac{\pi}{4}}^{0} (3 - 5\cos x)dx = (3x - 5\sin x) \Big|_{-\frac{\pi}{4}}^{0} = (3 \cdot 0 - 5\sin(0)) - \left(3\left(-\frac{\pi}{4}\right) - 5\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) $

3. Вычислим значения: $ \sin(0) = 0 $ и $ \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ (так как синус - нечетная функция).

4. Подставим значения в выражение:

$ (0 - 5 \cdot 0) - \left(-\frac{3\pi}{4} - 5\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) = 0 - \left(-\frac{3\pi}{4} + \frac{5\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4} - \frac{5\sqrt{2}}{2} $

Ответ: $ \frac{3\pi}{4} - \frac{5\sqrt{2}}{2} $.

4)

Дано:

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (4\sin x + 3)dx $

Найти:

Значение интеграла.

Решение:

Используем формулу Ньютона-Лейбница.

1. Найдем первообразную для $ f(x) = 4\sin x + 3 $. Первообразная для $ 4\sin x $ есть $ -4\cos x $, а для $ 3 $ есть $ 3x $. Следовательно, $ F(x) = -4\cos x + 3x $.

2. Подставим пределы интегрирования:

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (4\sin x + 3)dx = (-4\cos x + 3x) \Big|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \left(-4\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + 3 \cdot \frac{\pi}{4}\right) - (-4\cos(0) + 3 \cdot 0) $

3. Вычислим значения: $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos(0) = 1 $.

4. Подставим значения в выражение:

$ \left(-4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3\pi}{4}\right) - (-4 \cdot 1 + 0) = \left(-2\sqrt{2} + \frac{3\pi}{4}\right) - (-4) = -2\sqrt{2} + \frac{3\pi}{4} + 4 $

Ответ: $ 4 - 2\sqrt{2} + \frac{3\pi}{4} $.