Номер 48, страница 25 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx = \int_{0}^{1} 4x^3 dx;$

2) $\int_{0}^{1} 5x^4 dx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin^2 x} dx.$

1) $ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx = \int_{0}^{1} 4x^3 dx $

Решение

Для проверки верности равенства необходимо вычислить оба определенных интеграла, используя формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ является первообразной для функции $ f(x) $.

Вычислим интеграл в левой части равенства. Первообразной для функции $ \frac{1}{\cos^2 x} $ является $ \tan x $.

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx = [\tan x] \Big|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) - \tan(0) = 1 - 0 = 1. $

Теперь вычислим интеграл в правой части. Первообразной для функции $ 4x^3 $ является $ x^4 $.

$ \int_{0}^{1} 4x^3 dx = [x^4] \Big|_{0}^{1} = 1^4 - 0^4 = 1 - 0 = 1. $

Поскольку левая и правая части равенства равны одному и тому же значению ($1 = 1$), исходное равенство является верным.

Ответ: Равенство верное, обе части равны 1.

2) $ \int_{0}^{1} 5x^4 dx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin^2 x} dx $

Решение

Проверим верность данного равенства, вычислив отдельно его левую и правую части.

Вычислим интеграл в левой части. Первообразной для функции $ 5x^4 $ является $ x^5 $.

$ \int_{0}^{1} 5x^4 dx = [x^5] \Big|_{0}^{1} = 1^5 - 0^5 = 1 - 0 = 1. $

Вычислим интеграл в правой части. Первообразной для функции $ \frac{1}{\sin^2 x} $ является $ -\cot x $.

$ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin^2 x} dx = [-\cot x] \Big|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = \left(-\cot\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) - \left(-\cot\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) = -0 - (-1) = 1. $

Так как результаты вычислений левой и правой частей совпали ($1 = 1$), данное равенство является верным.

Ответ: Равенство верное, обе части равны 1.