Номер 55, страница 26 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

55. 1) $\int_{2}^{6} \frac{dx}{\sqrt{3x-2}};$

2) $\int_{4}^{7} \frac{dx}{\sqrt{3x+4}};$

3) $\int_{4}^{20} \frac{dx}{2\sqrt{\frac{x}{2}-1}};$

4) $\int_{0}^{9} \frac{dx}{4\sqrt{\frac{x}{3}+1}}.$

1) Дано:
$ \int_{2}^{6} \frac{dx}{\sqrt{3x-2}} $
Найти:
Значение интеграла.
Решение:
Для вычисления интеграла применим метод замены переменной. Введем новую переменную $ t = 3x - 2 $.
Найдем ее дифференциал: $ dt = (3x-2)'dx = 3dx $, следовательно $ dx = \frac{dt}{3} $.
Пересчитаем пределы интегрирования для новой переменной $ t $:
Нижний предел: при $ x=2 $, $ t = 3(2) - 2 = 4 $.
Верхний предел: при $ x=6 $, $ t = 3(6) - 2 = 16 $.
Выполним подстановку в интеграл:
$ \int_{2}^{6} \frac{dx}{\sqrt{3x-2}} = \int_{4}^{16} \frac{1}{\sqrt{t}} \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int_{4}^{16} t^{-1/2} dt $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ - первообразная для $ f(x) $. Первообразная для $ t^{-1/2} $ равна $ \frac{t^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{t} $.
$ \frac{1}{3} \left[ 2\sqrt{t} \right]_{4}^{16} = \frac{2}{3}(\sqrt{16} - \sqrt{4}) = \frac{2}{3}(4 - 2) = \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{4}{3} $.
Ответ: $ \frac{4}{3} $.

2) Дано:
$ \int_{4}^{7} \frac{dx}{\sqrt{3x+4}} $
Найти:
Значение интеграла.
Решение:
Применим метод замены переменной. Пусть $ t = 3x + 4 $.
Тогда $ dt = 3dx $, и $ dx = \frac{dt}{3} $.
Найдем новые пределы интегрирования:
При $ x=4 $, $ t = 3(4) + 4 = 16 $.
При $ x=7 $, $ t = 3(7) + 4 = 25 $.
Подставим в интеграл:
$ \int_{4}^{7} \frac{dx}{\sqrt{3x+4}} = \int_{16}^{25} \frac{1}{\sqrt{t}} \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int_{16}^{25} t^{-1/2} dt $.
Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$ \frac{1}{3} \left[ 2\sqrt{t} \right]_{16}^{25} = \frac{2}{3}(\sqrt{25} - \sqrt{16}) = \frac{2}{3}(5 - 4) = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3} $.
Ответ: $ \frac{2}{3} $.

3) Дано:
$ \int_{4}^{20} \frac{dx}{2\sqrt{\frac{x}{2}-1}} $
Найти:
Значение интеграла.
Решение:
Вынесем константу за знак интеграла: $ \frac{1}{2} \int_{4}^{20} \frac{dx}{\sqrt{\frac{x}{2}-1}} $.
Применим метод замены переменной. Пусть $ t = \frac{x}{2} - 1 $.
Тогда $ dt = (\frac{x}{2}-1)'dx = \frac{1}{2}dx $, и $ dx = 2dt $.
Найдем новые пределы интегрирования:
При $ x=4 $, $ t = \frac{4}{2} - 1 = 1 $.
При $ x=20 $, $ t = \frac{20}{2} - 1 = 9 $.
Подставим в интеграл:
$ \frac{1}{2} \int_{4}^{20} \frac{dx}{\sqrt{\frac{x}{2}-1}} = \frac{1}{2} \int_{1}^{9} \frac{2dt}{\sqrt{t}} = \int_{1}^{9} t^{-1/2} dt $.
Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$ \left[ 2\sqrt{t} \right]_{1}^{9} = 2\sqrt{9} - 2\sqrt{1} = 2(3) - 2(1) = 6 - 2 = 4 $.
Ответ: $ 4 $.

4) Дано:
$ \int_{0}^{9} \frac{dx}{4\sqrt{\frac{x}{3}+1}} $
Найти:
Значение интеграла.
Решение:
Вынесем константу за знак интеграла: $ \frac{1}{4} \int_{0}^{9} \frac{dx}{\sqrt{\frac{x}{3}+1}} $.
Применим метод замены переменной. Пусть $ t = \frac{x}{3} + 1 $.
Тогда $ dt = (\frac{x}{3}+1)'dx = \frac{1}{3}dx $, и $ dx = 3dt $.
Найдем новые пределы интегрирования:
При $ x=0 $, $ t = \frac{0}{3} + 1 = 1 $.
При $ x=9 $, $ t = \frac{9}{3} + 1 = 4 $.
Подставим в интеграл:
$ \frac{1}{4} \int_{0}^{9} \frac{dx}{\sqrt{\frac{x}{3}+1}} = \frac{1}{4} \int_{1}^{4} \frac{3dt}{\sqrt{t}} = \frac{3}{4} \int_{1}^{4} t^{-1/2} dt $.
Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$ \frac{3}{4} \left[ 2\sqrt{t} \right]_{1}^{4} = \frac{3}{2}(\sqrt{4} - \sqrt{1}) = \frac{3}{2}(2 - 1) = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2} $.
Ответ: $ \frac{3}{2} $.