Номер 52, страница 26 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

52. 1) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \frac{x}{2} dx;$

2) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \sin^2 \frac{x}{2} dx;$

3) $\int_0^{\pi} 3\cos^2 2x dx;$

4) $\int_0^{\frac{\pi}{8}} \frac{1}{4} \sin^2 4x dx.$

1)

Дано:

Вычислить определенный интеграл $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \frac{x}{2} dx$.

Найти:

Значение данного интеграла.

Решение:

Для вычисления интегралов, содержащих квадрат косинуса, применяется тригонометрическая формула понижения степени: $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

В данном случае, $\alpha = \frac{x}{2}$, тогда $2\alpha = 2 \cdot \frac{x}{2} = x$. Применим формулу к подынтегральной функции:

$\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$

Подставим полученное выражение в интеграл:

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \frac{x}{2} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos x}{2} dx = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos x) dx$

Найдем первообразную для функции $(1 + \cos x)$. Первообразная от $1$ есть $x$, а первообразная от $\cos x$ есть $\sin x$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$:

$\frac{1}{2} [x + \sin x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left( \left( \frac{\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{2} \right) - (0 + \sin 0) \right)$

Мы знаем, что $\sin\frac{\pi}{2} = 1$ и $\sin 0 = 0$. Подставим эти значения:

$\frac{1}{2} \left( \left( \frac{\pi}{2} + 1 \right) - (0 + 0) \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 1 \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$.

2)

Дано:

Вычислить определенный интеграл $\int_{-\frac{\pi}{2}}^0 \sin^2 \frac{x}{2} dx$.

Найти:

Значение данного интеграла.

Решение:

Для вычисления интегралов, содержащих квадрат синуса, применяется тригонометрическая формула понижения степени: $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.

В данном случае, $\alpha = \frac{x}{2}$, тогда $2\alpha = x$. Применим формулу к подынтегральной функции:

$\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}$

Подставим полученное выражение в интеграл:

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^0 \sin^2 \frac{x}{2} dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^0 \frac{1 - \cos x}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^0 (1 - \cos x) dx$

Найдем первообразную для функции $(1 - \cos x)$. Первообразная от $1$ есть $x$, а первообразная от $\cos x$ есть $\sin x$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{1}{2} [x - \sin x]_{-\frac{\pi}{2}}^0 = \frac{1}{2} \left( (0 - \sin 0) - \left( -\frac{\pi}{2} - \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) \right) \right)$

Мы знаем, что $\sin 0 = 0$ и $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$. Подставим эти значения:

$\frac{1}{2} \left( (0 - 0) - \left( -\frac{\pi}{2} - (-1) \right) \right) = \frac{1}{2} \left( 0 - \left( -\frac{\pi}{2} + 1 \right) \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$.

3)

Дано:

Вычислить определенный интеграл $\int_0^{\pi} 3\cos^2 2x dx$.

Найти:

Значение данного интеграла.

Решение:

Вынесем константу $3$ за знак интеграла:

$3 \int_0^{\pi} \cos^2 2x dx$

Снова используем формулу понижения степени $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

В данном случае, $\alpha = 2x$, тогда $2\alpha = 4x$. Применим формулу:

$\cos^2 2x = \frac{1 + \cos(4x)}{2}$

Подставим в интеграл:

$3 \int_0^{\pi} \frac{1 + \cos(4x)}{2} dx = \frac{3}{2} \int_0^{\pi} (1 + \cos(4x)) dx$

Найдем первообразную для функции $(1 + \cos(4x))$. Первообразная от $1$ есть $x$, а первообразная от $\cos(4x)$ есть $\frac{1}{4}\sin(4x)$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{3}{2} \left[ x + \frac{1}{4}\sin(4x) \right]_0^{\pi} = \frac{3}{2} \left( \left( \pi + \frac{1}{4}\sin(4\pi) \right) - \left( 0 + \frac{1}{4}\sin(4 \cdot 0) \right) \right)$

Мы знаем, что $\sin(4\pi) = 0$ и $\sin 0 = 0$. Подставим эти значения:

$\frac{3}{2} \left( (\pi + 0) - (0 + 0) \right) = \frac{3}{2} \pi$

Ответ: $\frac{3\pi}{2}$.

4)

Дано:

Вычислить определенный интеграл $\int_0^{\frac{\pi}{8}} \frac{1}{4} \sin^2 4x dx$.

Найти:

Значение данного интеграла.

Решение:

Вынесем константу $\frac{1}{4}$ за знак интеграла:

$\frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{8}} \sin^2 4x dx$

Используем формулу понижения степени для синуса $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.

В данном случае, $\alpha = 4x$, тогда $2\alpha = 8x$. Применим формулу:

$\sin^2 4x = \frac{1 - \cos(8x)}{2}$

Подставим в интеграл:

$\frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{8}} \frac{1 - \cos(8x)}{2} dx = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{8}} (1 - \cos(8x)) dx = \frac{1}{8} \int_0^{\frac{\pi}{8}} (1 - \cos(8x)) dx$

Найдем первообразную для функции $(1 - \cos(8x))$. Первообразная от $1$ есть $x$, а первообразная от $\cos(8x)$ есть $\frac{1}{8}\sin(8x)$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{1}{8} \left[ x - \frac{1}{8}\sin(8x) \right]_0^{\frac{\pi}{8}} = \frac{1}{8} \left( \left( \frac{\pi}{8} - \frac{1}{8}\sin\left(8 \cdot \frac{\pi}{8}\right) \right) - \left( 0 - \frac{1}{8}\sin(8 \cdot 0) \right) \right)$

Мы знаем, что $\sin(\pi) = 0$ и $\sin 0 = 0$. Подставим эти значения:

$\frac{1}{8} \left( \left( \frac{\pi}{8} - \frac{1}{8} \cdot 0 \right) - (0 - 0) \right) = \frac{1}{8} \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{64}$

Ответ: $\frac{\pi}{64}$.