Номер 54, страница 26 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

54. 1) $\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)};$

2) $\int_{\frac{2\pi}{3}}^{\pi} \frac{dx}{\sin^2\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right)};$

3) $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} \cos\left(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{12}\right) \cdot \sin\left(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{12}\right) dx;$

²4) $\int_{0}^{\pi} \left(1 - 2\cos^2\frac{x}{6}\right) dx.$

1) Решение:
Вычислим определенный интеграл: $ \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2(2x - \frac{\pi}{4})} $.
Для нахождения этого интеграла воспользуемся табличным интегралом $ \int \frac{du}{\cos^2 u} = \tan u + C $.
Сделаем замену переменной: пусть $ t = 2x - \frac{\pi}{4} $. Тогда $ dt = 2dx $, откуда $ dx = \frac{1}{2}dt $.
Первообразная будет иметь вид: $ \int \frac{\frac{1}{2}dt}{\cos^2 t} = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{\cos^2 t} = \frac{1}{2}\tan t = \frac{1}{2}\tan(2x - \frac{\pi}{4}) $.
Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $:
$ \left. \frac{1}{2}\tan(2x - \frac{\pi}{4}) \right|_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2}\tan(2 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) - \frac{1}{2}\tan(2 \cdot \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{4}) $
$ = \frac{1}{2}\tan(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) - \frac{1}{2}\tan(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}\tan(\frac{\pi}{4}) - \frac{1}{2}\tan(0) = \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $.

2) Решение:
Вычислим определенный интеграл: $ \int_{\frac{2\pi}{3}}^{\pi} \frac{dx}{\sin^2(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6})} $.
Для нахождения этого интеграла воспользуемся табличным интегралом $ \int \frac{du}{\sin^2 u} = -\cot u + C $.
Сделаем замену переменной: пусть $ t = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} $. Тогда $ dt = \frac{1}{2}dx $, откуда $ dx = 2dt $.
Первообразная будет иметь вид: $ \int \frac{2dt}{\sin^2 t} = 2 \int \frac{dt}{\sin^2 t} = -2\cot t = -2\cot(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \left. -2\cot(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) \right|_{\frac{2\pi}{3}}^{\pi} = -2\cot(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) - \left(-2\cot(\frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6})\right) $
$ = -2\cot(\frac{3\pi - \pi}{6}) + 2\cot(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}) = -2\cot(\frac{2\pi}{6}) + 2\cot(\frac{2\pi - \pi}{6}) $
$ = -2\cot(\frac{\pi}{3}) + 2\cot(\frac{\pi}{6}) = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} + 2 \cdot \sqrt{3} = \frac{-2\sqrt{3} + 6\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3} $.
Ответ: $ \frac{4\sqrt{3}}{3} $.

3) Решение:
Вычислим определенный интеграл: $ \int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} \cos(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{12}) \cdot \sin(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{12}) dx $.
Используем тригонометрическую формулу синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $, из которой следует, что $ \sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha) $.
Преобразуем подынтегральное выражение: $ \cos(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{12}) \cdot \sin(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{12}) = \frac{1}{2}\sin\left(2\left(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{12}\right)\right) = \frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) $.
Интеграл принимает вид: $ \int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} \frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) dx = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} \sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) dx $.
Первообразная для $ \sin(kx+b) $ равна $ -\frac{1}{k}\cos(kx+b) $.
$ \frac{1}{2} \int \sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) dx = \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{1/2}\cos(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6})\right) = -\cos(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \left. -\cos(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) \right|_{\frac{\pi}{3}}^{\pi} = -\cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) - \left(-\cos(\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6})\right) $
$ = -\cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(0) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $.

4) Решение:
Вычислим определенный интеграл: $ \int_{0}^{\pi} (1 - 2\cos^2\frac{x}{6}) dx $.
Используем тригонометрическую формулу косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1 $. Из нее следует, что $ 1 - 2\cos^2\alpha = -\cos(2\alpha) $.
Преобразуем подынтегральное выражение: $ 1 - 2\cos^2\frac{x}{6} = -\cos(2 \cdot \frac{x}{6}) = -\cos(\frac{x}{3}) $.
Интеграл принимает вид: $ \int_{0}^{\pi} -\cos(\frac{x}{3}) dx $.
Первообразная для $ \cos(kx) $ равна $ \frac{1}{k}\sin(kx) $.
$ \int -\cos(\frac{x}{3}) dx = - \int \cos(\frac{x}{3}) dx = - \frac{1}{1/3}\sin(\frac{x}{3}) = -3\sin(\frac{x}{3}) $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \left. -3\sin(\frac{x}{3}) \right|_{0}^{\pi} = -3\sin(\frac{\pi}{3}) - (-3\sin(\frac{0}{3})) = -3\sin(\frac{\pi}{3}) + 3\sin(0) $
$ = -3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 3 \cdot 0 = -\frac{3\sqrt{3}}{2} $.
Ответ: $ -\frac{3\sqrt{3}}{2} $.