Номер 59, страница 26 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

59.1) $\int_{x}^{1} 5dt > 9;$

2) $\int_{x}^{2} (2t - 1)dt > 0?$

1)

Дано:

Неравенство $\int_x^1 5dt > 9$.

Найти:

Все значения $x$, удовлетворяющие данному неравенству.

Решение:

Сначала вычислим определенный интеграл в левой части неравенства. Первообразная для подынтегральной функции $f(t) = 5$ есть $F(t) = 5t$.

Используем формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^b f(t)dt = F(b) - F(a)$:

$\int_x^1 5dt = [5t]_x^1 = 5 \cdot 1 - 5 \cdot x = 5 - 5x$.

Теперь подставим полученное выражение в исходное неравенство:

$5 - 5x > 9$

Решим это линейное неравенство относительно $x$:

$-5x > 9 - 5$

$-5x > 4$

При делении обеих частей на отрицательное число (-5), знак неравенства меняется на противоположный:

$x < -\frac{4}{5}$

$x < -0.8$

Ответ: $x \in (-\infty; -0.8)$.

2)

Дано:

Неравенство $\int_x^2 (2t-1)dt > 0$.

Найти:

Все значения $x$, удовлетворяющие данному неравенству.

Решение:

Вычислим определенный интеграл. Первообразная для подынтегральной функции $f(t) = 2t - 1$ есть $F(t) = t^2 - t$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_x^2 (2t-1)dt = [t^2 - t]_x^2 = (2^2 - 2) - (x^2 - x) = (4 - 2) - x^2 + x = 2 - x^2 + x$.

Подставим результат в исходное неравенство:

$-x^2 + x + 2 > 0$

Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 - x - 2 < 0$

Теперь решим это квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - x - 2 = 0$.

Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни:

$x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Графиком функции $y = x^2 - x - 2$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $x^2 - x - 2 < 0$ выполняется для значений $x$, находящихся между корнями параболы.

Следовательно, решение неравенства есть интервал $(-1; 2)$.

Ответ: $x \in (-1; 2)$.