Номер 62, страница 30 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

62. Вычислите площади плоских фигур, изображенных на рис. 13.

1 $y = x^2 + 4x + 4$

$y = 1$

2 $y = 1 - x^3$

$y = 2$

3 $y = -x^2 + 4$

$y = x + 2$

4 $y = x^2 + 1$

$y = 1 + 2x - x^2$

Рис. 13

1

Дано:
Фигура ограничена линиями $y = x^2 + 4x + 4$ и $y = 1$.

Найти:
Площадь фигуры $S$.

Решение:
Площадь фигуры, ограниченной кривыми $y=f_1(x)$ и $y=f_2(x)$, где $f_2(x) \ge f_1(x)$ на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле: $S = \int_{a}^{b} (f_2(x) - f_1(x)) dx$.
Сначала найдем точки пересечения графиков, чтобы определить пределы интегрирования $a$ и $b$. $x^2 + 4x + 4 = 1$
$x^2 + 4x + 3 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -3$, $x_2 = -1$. Таким образом, $a = -3$ и $b = -1$.
На интервале $(-3, -1)$ парабола $y = x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$ находится ниже прямой $y=1$. Например, при $x=-2$, $y = (-2+2)^2 = 0$, что меньше 1. Следовательно, верхняя функция $f_2(x) = 1$, а нижняя $f_1(x) = x^2 + 4x + 4$.
Вычисляем интеграл: $S = \int_{-3}^{-1} (1 - (x^2 + 4x + 4)) dx = \int_{-3}^{-1} (-x^2 - 4x - 3) dx$
$S = \left[-\frac{x^3}{3} - 2x^2 - 3x\right]_{-3}^{-1}$
$S = \left(-\frac{(-1)^3}{3} - 2(-1)^2 - 3(-1)\right) - \left(-\frac{(-3)^3}{3} - 2(-3)^2 - 3(-3)\right)$
$S = \left(\frac{1}{3} - 2 + 3\right) - \left(\frac{27}{3} - 18 + 9\right) = \left(\frac{1}{3} + 1\right) - (9 - 18 + 9) = \frac{4}{3} - 0 = \frac{4}{3}$.

Ответ: $S = \frac{4}{3}$.

2

Дано:
Фигура ограничена линиями $y=1-x^3$, $y=2$, $x=-1$ и $x=1$.

Найти:
Площадь фигуры $S$.

Решение:
Фигура ограничена сверху прямой $y=2$ и снизу кривой $y=1-x^3$. Пределы интегрирования видны на графике: от $a=-1$ до $b=1$. Убедимся, что на отрезке $[-1, 1]$ прямая $y=2$ находится выше кривой $y=1-x^3$. Функция $x^3$ является возрастающей, следовательно, $-x^3$ является убывающей. Максимальное значение функции $y=1-x^3$ на отрезке $[-1, 1]$ достигается при $x=-1$ и равно $y(-1) = 1 - (-1)^3 = 2$. Во всех остальных точках отрезка $1-x^3 < 2$. Таким образом, верхняя функция $f_2(x) = 2$, а нижняя $f_1(x) = 1 - x^3$.
Вычисляем площадь: $S = \int_{-1}^{1} (2 - (1 - x^3)) dx = \int_{-1}^{1} (1 + x^3) dx$
$S = \left[x + \frac{x^4}{4}\right]_{-1}^{1}$
$S = \left(1 + \frac{1^4}{4}\right) - \left(-1 + \frac{(-1)^4}{4}\right) = \left(1 + \frac{1}{4}\right) - \left(-1 + \frac{1}{4}\right) = \frac{5}{4} - \left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{5}{4} + \frac{3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

Ответ: $S = 2$.

3

Дано:
Фигура ограничена линиями $y = -x^2 + 4$ и $y = x + 2$.

Найти:
Площадь фигуры $S$.

Решение:
Найдем точки пересечения графиков для определения пределов интегрирования: $-x^2 + 4 = x + 2$
$x^2 + x - 2 = 0$
Корни уравнения (по теореме Виета или через дискриминант): $x_1 = -2$, $x_2 = 1$. Таким образом, $a = -2$ и $b = 1$.
На интервале $(-2, 1)$ определим, какая функция больше. Возьмем пробную точку $x=0$. $y_{парабола} = -0^2 + 4 = 4$. $y_{прямая} = 0 + 2 = 2$.
Так как $4 > 2$, парабола $y = -x^2 + 4$ является верхней границей ($f_2(x)$), а прямая $y = x + 2$ - нижней ($f_1(x)$).
Вычисляем площадь: $S = \int_{-2}^{1} ((-x^2 + 4) - (x + 2)) dx = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) dx$
$S = \left[-\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x\right]_{-2}^{1}$
$S = \left(-\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2(1)\right) - \left(-\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2(-2)\right)$
$S = \left(-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2\right) - \left(\frac{8}{3} - 2 - 4\right) = \left(\frac{-2-3+12}{6}\right) - \left(\frac{8}{3} - 6\right) = \frac{7}{6} - \left(\frac{8-18}{3}\right) = \frac{7}{6} - \left(-\frac{10}{3}\right)$
$S = \frac{7}{6} + \frac{10}{3} = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5$.

Ответ: $S = 4.5$.

4

Дано:
Фигура ограничена параболами $y = x^2 + 1$ и $y = 1 + 2x - x^2$.

Найти:
Площадь фигуры $S$.

Решение:
Найдем точки пересечения парабол, чтобы определить пределы интегрирования: $x^2 + 1 = 1 + 2x - x^2$
$2x^2 - 2x = 0$
$2x(x - 1) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$. Таким образом, $a = 0$ и $b = 1$.
На интервале $(0, 1)$ определим, какая функция является верхней границей. Возьмем пробную точку $x=0.5$. $y_1 = (0.5)^2 + 1 = 0.25 + 1 = 1.25$. $y_2 = 1 + 2(0.5) - (0.5)^2 = 1 + 1 - 0.25 = 1.75$.
Так как $1.75 > 1.25$, парабола $y = 1 + 2x - x^2$ является верхней границей ($f_2(x)$), а парабола $y = x^2 + 1$ - нижней ($f_1(x)$).
Вычисляем площадь: $S = \int_{0}^{1} ((1 + 2x - x^2) - (x^2 + 1)) dx = \int_{0}^{1} (2x - 2x^2) dx$
$S = \left[x^2 - \frac{2x^3}{3}\right]_{0}^{1}$
$S = \left(1^2 - \frac{2 \cdot 1^3}{3}\right) - \left(0^2 - \frac{2 \cdot 0^3}{3}\right) = \left(1 - \frac{2}{3}\right) - 0 = \frac{1}{3}$.

Ответ: $S = \frac{1}{3}$.