Номер 66, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Найдите объем тела, полученного при вращении гиперболы $y = \frac{2}{x}$ от точки $x = 1$ до точки $x = 3$ вокруг оси абсцисс.

2. Найдите объем тела, полученного при вращении гиперболы $y = \frac{3}{x}$ от точки $x = 1$ до точки $x = 2$ вокруг оси абсцисс.

1. Дано:

Функция (гипербола): $y = \frac{2}{x}$.

Пределы интегрирования по оси абсцисс: от $a = 1$ до $b = 3$.

Найти:

Объем тела, полученного при вращении гиперболы вокруг оси абсцисс.

Решение:

Объем тела, образованного вращением кривой $y = f(x)$ вокруг оси абсцисс на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

В данном случае, функция $f(x) = \frac{2}{x}$, а пределы интегрирования $a = 1$ и $b = 3$.

Сначала найдем квадрат функции:

$[f(x)]^2 = \left(\frac{2}{x}\right)^2 = \frac{4}{x^2}$

Теперь подставим это выражение в формулу для объема и вычислим определенный интеграл:

$V = \pi \int_{1}^{3} \frac{4}{x^2} dx$

Вынесем константу $4\pi$ за знак интеграла:

$V = 4\pi \int_{1}^{3} \frac{1}{x^2} dx = 4\pi \int_{1}^{3} x^{-2} dx$

Для вычисления интеграла найдем первообразную функции $x^{-2}$. Используя правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$\int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} g(x) dx = G(b) - G(a)$, где $G(x)$ - первообразная для $g(x)$:

$V = 4\pi \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{3} = 4\pi \left( \left(-\frac{1}{3}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) \right)$

Упростим выражение в скобках:

$V = 4\pi \left( -\frac{1}{3} + 1 \right) = 4\pi \left( \frac{2}{3} \right)$

Окончательно получаем объем:

$V = \frac{8\pi}{3}$

Ответ: $\frac{8\pi}{3}$ кубических единиц.

2. Дано:

Функция (гипербола): $y = \frac{3}{x}$.

Пределы интегрирования по оси абсцисс: от $a = 1$ до $b = 2$.

Найти:

Объем тела, полученного при вращении гиперболы вокруг оси абсцисс.

Решение:

Воспользуемся той же формулой для объема тела вращения:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

Здесь $f(x) = \frac{3}{x}$, $a = 1$, $b = 2$.

Найдем квадрат функции:

$[f(x)]^2 = \left(\frac{3}{x}\right)^2 = \frac{9}{x^2}$

Подставим в интеграл:

$V = \pi \int_{1}^{2} \frac{9}{x^2} dx$

Вынесем константу $9\pi$:

$V = 9\pi \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} dx = 9\pi \int_{1}^{2} x^{-2} dx$

Первообразная для $x^{-2}$ равна $-\frac{1}{x}$. Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$V = 9\pi \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{2} = 9\pi \left( \left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) \right)$

Упростим выражение:

$V = 9\pi \left( -\frac{1}{2} + 1 \right) = 9\pi \left( \frac{1}{2} \right)$

Окончательный результат:

$V = \frac{9\pi}{2}$

Ответ: $\frac{9\pi}{2}$ кубических единиц.