Номер 64, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

64. 1. Найдите объем тела, полученного при вращении параболы $y = x^2$ от точки $x = 0$ до точки $x = 3$ вокруг оси абсцисс.

2. Найдите объем тела, полученного при вращении параболы $y = 3x^2$ от точки $x = 1$ до точки $x = 2$ вокруг оси абсцисс.

1. Найдите объем тела, полученного при вращении параболы y = x² от точки x = 0 до точки x = 3 вокруг оси абсцисс.
Дано:
Функция: $y = f(x) = x^2$
Пределы интегрирования: $a = 0$, $b = 3$
Ось вращения: ось абсцисс (Ox)

Найти:
Объем тела вращения $V$.

Решение:
Объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью Ox и прямыми $x=a$ и $x=b$, вокруг оси абсцисс, вычисляется по формуле:
$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$
Подставим в формулу нашу функцию $y = x^2$ и пределы интегрирования от 0 до 3:
$V = \pi \int_{0}^{3} (x^2)^2 dx = \pi \int_{0}^{3} x^4 dx$
Найдем первообразную для функции $x^4$, которая равна $\frac{x^5}{5}$.
Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{3} = \pi \left( \frac{3^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right)$
Выполним вычисления:
$3^5 = 243$
$V = \pi \left( \frac{243}{5} - 0 \right) = \frac{243\pi}{5}$
Ответ: $V = \frac{243\pi}{5}$

2. Найдите объем тела, полученного при вращении параболы y = 3x² от точки x = 1 до точки x = 2 вокруг оси абсцисс.
Дано:
Функция: $y = f(x) = 3x^2$
Пределы интегрирования: $a = 1$, $b = 2$
Ось вращения: ось абсцисс (Ox)

Найти:
Объем тела вращения $V$.

Решение:
Используем ту же формулу для объема тела вращения:
$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$
Подставим в формулу нашу функцию $y = 3x^2$ и пределы интегрирования от 1 до 2:
$V = \pi \int_{1}^{2} (3x^2)^2 dx = \pi \int_{1}^{2} 9x^4 dx$
Вынесем константу 9 за знак интеграла:
$V = 9\pi \int_{1}^{2} x^4 dx$
Первообразная для $x^4$ равна $\frac{x^5}{5}$. Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$V = 9\pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{1}^{2} = 9\pi \left( \frac{2^5}{5} - \frac{1^5}{5} \right)$
Выполним вычисления:
$2^5 = 32$
$1^5 = 1$
$V = 9\pi \left( \frac{32}{5} - \frac{1}{5} \right) = 9\pi \left( \frac{31}{5} \right) = \frac{279\pi}{5}$
Ответ: $V = \frac{279\pi}{5}$