Номер 69, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

69. 1. Найдите объем тела, полученного при вращении параболы $y = 0.5x^2$ от точки $x = -1$ до точки $x = 1$ вокруг оси ординат.

2. Найдите объем тела, полученного при вращении параболы $y = 2x^2$ от точки $x = -2$ до точки $x = 2$ вокруг оси ординат.

1. Дано:
Парабола: $y = 0.5x^2$
Пределы по x: от $x = -1$ до $x = 1$
Ось вращения: ось ординат (ось Oy)

Найти:
Объем тела вращения $V$.

Решение:
Тело вращения образовано вращением вокруг оси Oy криволинейной трапеции, ограниченной параболой $y = 0.5x^2$ и прямой, проходящей через конечные точки дуги параболы.

Найдем пределы интегрирования по оси Oy. Нижний предел соответствует вершине параболы, где $x=0$, следовательно, $y_{min} = 0.5 \cdot 0^2 = 0$. Верхний предел соответствует точкам $x = -1$ и $x = 1$. В обеих точках $y_{max} = 0.5 \cdot (\pm 1)^2 = 0.5$. Таким образом, интегрирование будет производиться от $c=0$ до $d=0.5$.

Объем тела вращения вокруг оси ординат вычисляется по формуле метода дисков: $V = \pi \int_{c}^{d} x^2 dy$

Для использования этой формулы необходимо выразить $x^2$ через $y$ из уравнения параболы: $y = 0.5x^2 \implies x^2 = \frac{y}{0.5} \implies x^2 = 2y$

Подставим выражение для $x^2$ и пределы интегрирования в формулу объема: $V = \pi \int_{0}^{0.5} 2y \, dy$

Вычислим интеграл: $V = 2\pi \int_{0}^{0.5} y \, dy = 2\pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{0.5} = \pi [y^2]_{0}^{0.5}$ $V = \pi (0.5^2 - 0^2) = \pi \cdot 0.25 = \frac{\pi}{4}$

Таким образом, объем полученного тела вращения (параболоида) равен $\frac{\pi}{4}$ кубических единиц. Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

2. Дано:
Парабола: $y = 2x^2$
Пределы по x: от $x = -2$ до $x = 2$
Ось вращения: ось ординат (ось Oy)

Найти:
Объем тела вращения $V$.

Решение:
Аналогично предыдущей задаче, объем тела находится вращением дуги параболы вокруг оси Oy.

Определим пределы интегрирования по оси y. Нижняя граница при $x=0$ дает $y_{min} = 2 \cdot 0^2 = 0$. Верхняя граница при $x = \pm 2$ дает $y_{max} = 2 \cdot (\pm 2)^2 = 2 \cdot 4 = 8$. Интегрирование проводится в пределах от $c=0$ до $d=8$.

Формула для объема тела вращения вокруг оси Oy: $V = \pi \int_{c}^{d} x^2 dy$

Выразим $x^2$ через $y$ из уравнения параболы: $y = 2x^2 \implies x^2 = \frac{y}{2}$

Подставим полученное выражение и пределы в интеграл для объема: $V = \pi \int_{0}^{8} \frac{y}{2} dy$

Теперь вычислим интеграл: $V = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{8} y \, dy = \frac{\pi}{2} \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{8} = \frac{\pi}{4} [y^2]_{0}^{8}$ $V = \frac{\pi}{4} (8^2 - 0^2) = \frac{\pi}{4} \cdot 64 = 16\pi$

Следовательно, объем тела вращения равен $16\pi$ кубических единиц. Ответ: $16\pi$.