Проверь себя, страница 32 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

1. Укажите функцию $y = f(x)$, первообразная которой равна $F(x) = 9x^2 - 0.5x$.

A. $18x + \frac{1}{2}$; B. $4.5x - 0.5$; C. $4.5x + 0.5$; D. $18x - \frac{1}{2}$.

2. Определите общий вид первообразной для функции $y = 4x + 6x^2$:

A. $8x + 1.5x^2 + C$; B. $2x^2 + 1.5x^4 + C$;

C. $8x^2 + \frac{2}{3}x^4 + C$; D. $4 + 18x^2 + C$.

3. Найдите первообразную функцию $y = 3x^2 - 1$, проходящую через точку $A(0; 0)$:

A. $x^3 - x + 1$; B. $x^3 - x$;

C. $x^3 - x - 1$; D. $x^3 + x + 1$.

4. На каком промежутке функция $F(x) = \frac{2x^3}{9} + \frac{3}{2x}$ является первообразной для функции $f(x) = \frac{2}{3}x^2 - \frac{3}{2x^2}$:

A. $(-\infty; +\infty)$; B. $(0; +\infty)$; C. $(-\infty; 1)$; D. $(-1; +\infty)$?

5. Какой из графиков, изображенных на рисунке, не дает геометрической интерпретации первообразной?

A

B

C

D

6. Какая из фигур, заштрихованных на рисунке, не является криволинейной трапецией?

A

B

C

D

7. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2$, $y = 0$, $x = -2$, $x = -1$:

A. 3; B. 1; C. $\frac{7}{3}$; D. $\frac{5}{3}$.

8. Вычислите интеграл $\int_{-1}^{1} x^{10}dx$:

A. 0; B. $\frac{2}{11}$; C. 22; D. $\frac{1}{22}$.

9. Площадь фигуры, изображенной на рисунке, вычисляется по формуле:

A. $S = \int_{a}^{b} f(x)dx$;

B. $S = 2 \cdot \int_{-3}^{0} f(x)dx$;

C. $S = \int_{0}^{-3} f(x)dx$;

D. $S = \int_{-3}^{3} f(x)dx$.

10. Найдите значение интеграла $\int_{4}^{9} \frac{25\sqrt{x}}{x}dx$:

A. 50; B. 10; C. 5; D. 25.

11. Что означает определенный интеграл от непрерывной и неотрицательной функции на отрезке $[a; b]$:

A. Площадь криволинейной функции;

B. Общий вид первообразной;

C. Производную функции;

D. Объем тела вращения?

12. Вычислите площадь плоской фигуры, изображенной на рисунке:

A. $\frac{3}{4}$; B. $\frac{14}{3}$; C. $\frac{4}{3}$; D. $\frac{32}{3}$.

13. Какое условие должно выполняться для того, чтобы функция $F(x)$ была первообразной для функции $f(x)$ на множестве $D$:

A. $F(x) = f(x)$; C. $F(x) = f'(x)$;

B. $F'(x) = f(x)$; D. $F'(x) = f'(x)$?

14. При каком значении $C$ график первообразной функции $f(x) = 5\sin x$ проходит через точку $K(\frac{\pi}{5}; 1)$:

A. 0; B. 2; C. $-1$; D. 1?

15. Найдите значение интеграла $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos xdx$:

A. $\frac{1}{16}$; B. $-\frac{1}{16}$; C. $-\frac{1}{8}$; D. $\frac{1}{8}$.

16. Вычислите $\int_{-1}^{0} \frac{x^3 - 4x^2 - 5x}{x - 5}dx$:

A. $\frac{1}{6}$; B. $-\frac{1}{6}$; C. $\frac{5}{6}$; D. $-\frac{5}{6}$.

17. Площадь плоской фигуры, изображенной на рисунке, находится по формуле:

A. $S = \int_{-a}^{a} f(x)dx + S_{\Delta}$;

B. $S = S_{\text{трап}} - \int_{-a}^{a} f(x)dx$;

C. $S = S_{\text{трап}} - \int_{-a}^{a} f(x)dx - S_{\Delta}$;

D. $S = 2 \int_{0}^{a} f(x)dx + S_{\Delta}$.

18. Какое из приведенных неравенств неверное:

A. $\int_{1}^{2} x^2 dx < \int_{1}^{2} x dx$;

B. $\int_{1}^{2} \frac{9}{2\sqrt{x}} dx > \int_{1}^{2} \frac{1}{2\sqrt{x}} dx$;

C. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin xdx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos xdx$;

D. $\int_{3}^{100} dx < \int_{3}^{100} dx$.

19. При каких значениях $x$ выполняется равенство $\int_{0}^{x} (2t - 5)dt = -6$:

A. Таких значений не существует; B. $-2; -3$;

C. Любое число; D. $2; 3$?

20. При каких значениях $x$ выполняется неравенство $\int_{0}^{x} (2t - 4)dt < -3$:

A. $(1; 3)$;

B. $(-\infty; 1] \cup [3; +\infty)$;

C. $[1; 3]$;

D. $[-3; -1]$?

1. Укажите функцию y = f(x), первообразная которой равна F(x) = 9x² - 0,5x.

Решение:

По определению первообразной, функция $f(x)$ является производной от своей первообразной $F(x)$. То есть, $f(x) = F'(x)$.
Найдём производную от заданной функции $F(x) = 9x^2 - 0,5x$:
$f(x) = F'(x) = (9x^2 - 0,5x)' = (9x^2)' - (0,5x)' = 9 \cdot 2x - 0,5 \cdot 1 = 18x - 0,5$.
Таким образом, искомая функция $y = 18x - 0,5$, что соответствует варианту D, так как $0,5 = \frac{1}{2}$.

Ответ: D. $18x - \frac{1}{2}$.

2. Определите общий вид первообразной для функции y = 4x + 6x³.

Решение:

Чтобы найти общий вид первообразной для функции $f(x) = 4x + 6x^3$, необходимо найти её неопределённый интеграл:
$F(x) = \int (4x + 6x^3)dx = \int 4x dx + \int 6x^3 dx$.
Используя правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:
$F(x) = 4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + 6 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = 4 \frac{x^2}{2} + 6 \frac{x^4}{4} + C = 2x^2 + \frac{3}{2}x^4 + C$.
Запишем $\frac{3}{2}$ как $1,5$:
$F(x) = 2x^2 + 1,5x^4 + C$.

Ответ: B. $2x^2 + 1,5x^4 + C$.

3. Найдите первообразную функции y = 3x² - 1, проходящую через точку A(0; 0).

Решение:

Сначала найдём общий вид первообразной для функции $f(x) = 3x^2 - 1$:
$F(x) = \int (3x^2 - 1)dx = 3 \frac{x^3}{3} - x + C = x^3 - x + C$.
По условию, график первообразной проходит через точку $A(0; 0)$, что означает $F(0) = 0$. Подставим $x=0$ и $F(x)=0$ в уравнение первообразной, чтобы найти константу $C$:
$0 = 0^3 - 0 + C$
$C = 0$.
Следовательно, искомая первообразная имеет вид $F(x) = x^3 - x$.

Ответ: B. $x^3 - x$.

4. На каком промежутке функция F(x) = $\frac{2x^3}{9} + \frac{3}{2x}$ является первообразной для функции f(x) = $\frac{2}{3}x^2 - \frac{3}{2x^2}$?

Решение:

Чтобы проверить, является ли $F(x)$ первообразной для $f(x)$, нужно найти производную $F'(x)$ и сравнить её с $f(x)$. Также необходимо учесть области определения функций.
$F(x) = \frac{2}{9}x^3 + \frac{3}{2}x^{-1}$.
$F'(x) = (\frac{2}{9}x^3 + \frac{3}{2}x^{-1})' = \frac{2}{9} \cdot 3x^2 + \frac{3}{2} \cdot (-1)x^{-2} = \frac{2}{3}x^2 - \frac{3}{2x^2}$.
Мы видим, что $F'(x) = f(x)$.
Теперь рассмотрим области определения. Обе функции, $F(x)$ и $f(x)$, не определены при $x=0$, так как в знаменателе находится $x$. Первообразная определяется на непрерывном промежутке (интервале). Из предложенных вариантов только промежуток $(0; +\infty)$ не содержит точку $x=0$. На этом промежутке $F(x)$ дифференцируема и её производная равна $f(x)$.

Ответ: B. $(0; +\infty)$.

5. Какой из графиков, изображенных на рисунке, не дает геометрической интерпретации первообразной?

Решение:

Геометрическая интерпретация совокупности всех первообразных для некоторой функции $f(x)$ — это семейство кривых $y = F(x) + C$, где $F(x)$ — одна из первообразных, а $C$ — произвольная постоянная. Графики всех функций этого семейства получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси $Oy$.
A, C, D изображают такие семейства кривых (параллельные прямые, синусоиды).
График B изображает семейство вертикальных прямых вида $x = const$. Вертикальная прямая не является графиком функции $y(x)$. Следовательно, это изображение не может быть геометрической интерпретацией первообразных.

Ответ: B.

6. Какая из фигур, заштрихованных на рисунке, не является криволинейной трапецией?

Решение:

Криволинейная трапеция — это фигура, ограниченная графиком непрерывной и знакопостоянной (неотрицательной или неположительной) функции $y=f(x)$, осью абсцисс ($y=0$) и двумя вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$.
Фигуры A, B, C соответствуют этому определению. Они ограничены графиком функции сверху, осью $Ox$ снизу и двумя вертикальными прямыми по бокам.
Фигура D ограничена графиком функции и осью абсцисс. Хотя её площадь и можно найти с помощью интеграла, её боковые границы не являются вертикальными прямыми в общем понимании, а являются точками пересечения графика с осью $Ox$. В строгом определении "трапеции" присутствуют две параллельные стороны, которыми в криволинейной трапеции выступают отрезки прямых $x=a$ и $x=b$. В фигуре D таких явно заданных прямых нет, что делает ее отличной от классического определения, представленного в фигурах A, B и C.

Ответ: D.

7. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x², y = 0, x = -2, x = -1.

Дано:
$y = x^2$
$y = 0$
$x = -2$
$x = -1$

Найти:
Площадь фигуры $S$.

Решение:

Фигура является криволинейной трапецией. На отрезке $[-2, -1]$ функция $y=x^2$ непрерывна и неотрицательна. Площадь вычисляется как определённый интеграл:
$S = \int_{-2}^{-1} x^2 dx$.
Найдём первообразную для $x^2$: $F(x) = \frac{x^3}{3}$.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$S = F(-1) - F(-2) = \frac{(-1)^3}{3} - \frac{(-2)^3}{3} = \frac{-1}{3} - \frac{-8}{3} = \frac{-1+8}{3} = \frac{7}{3}$.

Ответ: C. $\frac{7}{3}$.

8. Вычислите интеграл $\int_{-1}^{1} x^{10}dx$.

Решение:

Функция $f(x) = x^{10}$ является чётной, так как $f(-x) = (-x)^{10} = x^{10} = f(x)$. Для чётной функции интеграл по симметричному промежутку $[-a, a]$ равен удвоенному интегралу по промежутку $[0, a]$:
$\int_{-1}^{1} x^{10}dx = 2 \int_{0}^{1} x^{10}dx$.
Первообразная для $x^{10}$ равна $\frac{x^{11}}{11}$.
$2 \int_{0}^{1} x^{10}dx = 2 \cdot \left[ \frac{x^{11}}{11} \right]_{0}^{1} = 2 \cdot \left( \frac{1^{11}}{11} - \frac{0^{11}}{11} \right) = 2 \cdot \left( \frac{1}{11} - 0 \right) = \frac{2}{11}$.

Ответ: B. $\frac{2}{11}$.

9. Площадь фигуры, изображенной на рисунке, вычисляется по формуле:

Решение:

На рисунке изображена криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y=f(x)$ (где $f(x) \geq 0$), осью абсцисс $y=0$ и вертикальными прямыми $x=-3$ и $x=3$.
Площадь такой фигуры по геометрическому смыслу определённого интеграла вычисляется по формуле:
$S = \int_{-3}^{3} f(x)dx$.

Ответ: D. $S = \int_{-3}^{3} f(x)dx$.

10. Найдите значение интеграла $\int_{4}^{9} \frac{25\sqrt{x}}{x} dx$.

Решение:

Сначала упростим подынтегральное выражение:
$\frac{25\sqrt{x}}{x} = \frac{25x^{1/2}}{x^1} = 25x^{1/2 - 1} = 25x^{-1/2}$.
Теперь вычислим интеграл:
$\int_{4}^{9} 25x^{-1/2} dx = 25 \int_{4}^{9} x^{-1/2} dx$.
Первообразная для $x^{-1/2}$ равна $\frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2x^{1/2} = 2\sqrt{x}$.
$\int_{4}^{9} 25x^{-1/2} dx = 25 \left[ 2\sqrt{x} \right]_{4}^{9} = 50 \left[ \sqrt{x} \right]_{4}^{9}$.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$50 (\sqrt{9} - \sqrt{4}) = 50 (3 - 2) = 50 \cdot 1 = 50$.

Ответ: A. 50.

11. Что означает определенный интеграл от непрерывной и неотрицательной функции на отрезке [a; b]?

Решение:

По геометрическому определению, определённый интеграл $\int_{a}^{b} f(x)dx$ от непрерывной и неотрицательной ($f(x) \geq 0$) функции $f(x)$ на отрезке $[a; b]$ равен площади криволинейной трапеции. Эта трапеция ограничена графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=a$ и $x=b$.
Среди предложенных вариантов наиболее точным является "Площадь криволинейной функции" (хотя более корректно говорить "площадь фигуры, ограниченной графиком функции" или "площадь криволинейной трапеции").

Ответ: A. Площадь криволинейной функции.

12. Вычислите площадь плоской фигуры, изображенной на рисунке.

Решение:

Фигура ограничена сверху прямой $y_{top} = 3$ и снизу параболой $y_{bottom} = x^2 - 4x + 6$.
Сначала найдём пределы интегрирования, решив уравнение $y_{top} = y_{bottom}$ для нахождения точек пересечения:
$3 = x^2 - 4x + 6$
$x^2 - 4x + 3 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Это наши пределы интегрирования $a=1, b=3$.
Площадь фигуры между двумя кривыми вычисляется по формуле $S = \int_{a}^{b} (y_{top}(x) - y_{bottom}(x))dx$.
$S = \int_{1}^{3} (3 - (x^2 - 4x + 6))dx = \int_{1}^{3} (3 - x^2 + 4x - 6)dx = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3)dx$.
Найдём первообразную: $F(x) = -\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} - 3x = -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x$.
Вычислим площадь:
$S = F(3) - F(1) = (-\frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3) - (-\frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1)$
$S = (-9 + 18 - 9) - (-\frac{1}{3} + 2 - 3) = 0 - (-\frac{1}{3} - 1) = 0 - (-\frac{4}{3}) = \frac{4}{3}$.

Ответ: C. $\frac{4}{3}$.

13. Какое условие должно выполняться для того, чтобы функция F(x) была первообразной для функции f(x) на множестве D?

Решение:

По определению, функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на некотором множестве (интервале) $D$, если для всех $x$ из этого множества выполняется равенство: $F'(x) = f(x)$.

Ответ: B. $F'(x) = f(x)$.

14. При каком значении C график первообразной функции f(x) = 5sin(5x) проходит через точку K($\frac{\pi}{5}$; 1)?

Решение:

Найдём общий вид первообразной для $f(x) = 5\sin(5x)$:
$F(x) = \int 5\sin(5x)dx = 5 \int \sin(5x)dx$.
Интеграл от $\sin(kx)$ равен $-\frac{1}{k}\cos(kx)$. В нашем случае $k=5$.
$F(x) = 5 \cdot (-\frac{1}{5}\cos(5x)) + C = -\cos(5x) + C$.
График проходит через точку $K(\frac{\pi}{5}; 1)$, значит $F(\frac{\pi}{5}) = 1$.
$1 = -\cos(5 \cdot \frac{\pi}{5}) + C$
$1 = -\cos(\pi) + C$
$1 = -(-1) + C$
$1 = 1 + C$
$C = 0$.

Ответ: A. 0.

15. Найдите значение интеграла $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{4}\cos xdx$.

Решение:

Вынесем константу за знак интеграла:
$\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{4}\cos xdx = \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos xdx$.
Первообразная для $\cos x$ равна $\sin x$.
$\frac{1}{4} \left[ \sin x \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{4} (\sin(\frac{\pi}{6}) - \sin(0))$.
Так как $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(0) = 0$:
$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} - 0) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.

Ответ: D. $\frac{1}{8}$.

16. Вычислите $\int_{-1}^{0} \frac{x^3 - 4x^2 - 5x}{x - 5} dx$.

Решение:

Упростим подынтегральное выражение. Разложим числитель на множители:
$x^3 - 4x^2 - 5x = x(x^2 - 4x - 5)$.
Найдём корни квадратного трёхчлена $x^2 - 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, $x_1=5, x_2=-1$.
Тогда $x^2 - 4x - 5 = (x-5)(x+1)$.
Числитель равен $x(x-5)(x+1)$.
Подынтегральная функция: $\frac{x(x-5)(x+1)}{x-5}$.
На промежутке интегрирования $[-1, 0]$ знаменатель $x-5 \neq 0$, поэтому дробь можно сократить:
$\frac{x(x-5)(x+1)}{x-5} = x(x+1) = x^2 + x$.
Теперь вычисляем интеграл от упрощённой функции:
$\int_{-1}^{0} (x^2 + x)dx = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0}$.
$= (\frac{0^3}{3} + \frac{0^2}{2}) - (\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2}) = 0 - (-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}) = -(\frac{-2+3}{6}) = -\frac{1}{6}$.

Ответ: B. $-\frac{1}{6}$.

17. Площадь плоской фигуры, изображенной на рисунке, находится по формуле:

Решение:

На рисунке изображена криволинейная трапеция, ограниченная сверху графиком функции $y=f(x)$, снизу осью $Ox$, и по бокам прямыми $x=-a$ и $x=a$. Площадь такой фигуры равна $S = \int_{-a}^{a} f(x)dx$.
Однако ни один из предложенных вариантов ответа не соответствует этой формуле. Варианты ответов предполагают нахождение площади более сложной фигуры, например, разности площадей трапеции (или прямоугольника) и криволинейной трапеции.
Формула $S = S_{трап} - \int_{-a}^{a} f(x)dx$ описывает площадь фигуры, ограниченной сверху некой трапецией (например, прямоугольником), а снизу — кривой $y=f(x)$. Вероятно, в задании имеется несоответствие между рисунком и вариантами ответов. Если предположить, что вопрос относится к нахождению такой составной площади, то формула из варианта B является стандартной для таких задач.

Ответ: B. $S = S_{трап} - \int_{-a}^{a} f(x)dx$.

18. Какое из приведенных неравенств неверное:

Решение:

Проверим каждое неравенство:
A. $\int_{1}^{2} x^2 dx < \int_{2}^{3} x dx$
$\left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.
$\left[ \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{3} = \frac{9}{2} - \frac{4}{2} = \frac{5}{2}$.
$\frac{7}{3} < \frac{5}{2} \Leftrightarrow 14 < 15$. Неравенство верное.
B. $\int_{1}^{9} \frac{1}{2\sqrt{x}} dx > \int_{1}^{2} \frac{1}{2\sqrt{x}} dx$
Подынтегральная функция $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ положительна на $(0, +\infty)$. Так как промежуток интегрирования $[1, 9]$ шире, чем $[1, 2]$, и содержит его, интеграл по более широкому промежутку будет больше. Неравенство верное.
C. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin xdx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos xdx$
$\left[ -\cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\cos(\frac{\pi}{2}) - (-\cos(0)) = 0 - (-1) = 1$.
$\left[ \sin x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$.
$1 = 1$. Равенство верное.
D. $\int_{3}^{4} dx < \int_{100}^{101} dx$
$\int_{3}^{4} 1 dx = \left[ x \right]_{3}^{4} = 4 - 3 = 1$.
$\int_{100}^{101} 1 dx = \left[ x \right]_{100}^{101} = 101 - 100 = 1$.
Неравенство $1 < 1$ является неверным.

Ответ: D. $\int_{3}^{4} dx < \int_{100}^{101} dx$.

19. При каких значениях x выполняется равенство $\int_{0}^{x} (2t - 5)dt = -6$?

Решение:

Вычислим интеграл в левой части уравнения:
$\int_{0}^{x} (2t - 5)dt = \left[ 2\frac{t^2}{2} - 5t \right]_{0}^{x} = \left[ t^2 - 5t \right]_{0}^{x} = (x^2 - 5x) - (0^2 - 5 \cdot 0) = x^2 - 5x$.
Теперь решим уравнение:
$x^2 - 5x = -6$
$x^2 - 5x + 6 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Ответ: D. 2; 3.

20. При каких значениях x выполняется неравенство $\int_{0}^{x} (2t - 4)dt \leq -3$?

Решение:

Вычислим интеграл в левой части неравенства:
$\int_{0}^{x} (2t - 4)dt = \left[ t^2 - 4t \right]_{0}^{x} = (x^2 - 4x) - 0 = x^2 - 4x$.
Теперь решим неравенство:
$x^2 - 4x \leq -3$
$x^2 - 4x + 3 \leq 0$.
Найдём корни соответствующего уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.
Графиком функции $y = x^2 - 4x + 3$ является парабола с ветвями вверх. Значения функции меньше или равны нулю на промежутке между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства: $1 \leq x \leq 3$, или в виде интервала $[1; 3]$.

Ответ: C. $[1; 3]$.