Номер 75, страница 40 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

75.1) $\sqrt[3]{\frac{27}{64}}$;

2) $\sqrt[4]{\frac{625}{81}}$;

3) $\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}$;

4) $\sqrt[4]{\frac{256}{81}}$.

1) Для вычисления значения выражения $\sqrt[3]{\frac{27}{64}}$ воспользуемся свойством корня из дроби: корень n-ой степени из частного равен частному корней n-ой степени из делимого и делителя. Математически это записывается так: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ (при $b \neq 0$).

Применим это свойство:

$\sqrt[3]{\frac{27}{64}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{64}}$

Теперь вычислим корень кубический из числителя и знаменателя. Найдём число, которое при возведении в куб (третью степень) даёт 27, и число, которое в кубе даёт 64.

Для числителя: $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$, следовательно, $\sqrt[3]{27} = 3$.

Для знаменателя: $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$, следовательно, $\sqrt[3]{64} = 4$.

Подставив найденные значения, получаем:

$\frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$.

2) Для выражения $\sqrt[4]{\frac{625}{81}}$ применим то же свойство, что и в первом пункте: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.

$\sqrt[4]{\frac{625}{81}} = \frac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{81}}$

Вычислим корень четвёртой степени из числителя и знаменателя.

Для числителя: $5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$, следовательно, $\sqrt[4]{625} = 5$.

Для знаменателя: $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$, следовательно, $\sqrt[4]{81} = 3$.

Подставляем значения в дробь:

$\frac{5}{3}$

При желании можно выделить целую часть: $\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{5}{3}$.

3) В выражении $\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}$ мы имеем дело с корнем нечётной степени (кубическим) из отрицательного числа. Для корней нечётной степени существует свойство: $\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$ (где $n$ — нечётное число).

Используя это свойство, вынесем знак минус из-под корня:

$\sqrt[3]{-\frac{27}{8}} = -\sqrt[3]{\frac{27}{8}}$

Теперь применим свойство корня из дроби:

$-\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = -\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}$

Вычислим значения корней:

$\sqrt[3]{27} = 3$ (так как $3^3 = 27$)

$\sqrt[3]{8} = 2$ (так как $2^3 = 8$)

Подставляем результаты:

$-\frac{3}{2}$

Этот результат можно представить в виде десятичной дроби $-1.5$ или смешанного числа $-1\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{3}{2}$.

4) Для вычисления значения выражения $\sqrt[4]{\frac{256}{81}}$ снова используем свойство корня из дроби: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.

$\sqrt[4]{\frac{256}{81}} = \frac{\sqrt[4]{256}}{\sqrt[4]{81}}$

Вычислим корень четвёртой степени для числителя и знаменателя.

Для числителя: $4^4 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 16 = 256$, значит $\sqrt[4]{256} = 4$.

Для знаменателя: $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81$, значит $\sqrt[4]{81} = 3$.

Подставляем найденные значения:

$\frac{4}{3}$

Можно также выделить целую часть: $\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.