Номер 81, страница 40 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

81.1)
1) $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[9]{8}$;
2) $\sqrt[7]{16} \cdot \sqrt[7]{-8}$;
3) $\sqrt[5]{27} \cdot \sqrt[5]{9}$;
4) $\sqrt[3]{-25} \cdot \sqrt[6]{25}$.

1)

Дано: Выражение $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[9]{8}$.

Найти: Значение выражения.

Решение:

Для того чтобы перемножить корни с разными показателями, приведем их к общему основанию и представим в виде степеней с рациональными показателями, используя формулу $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

Сначала представим подкоренные выражения 4 и 8 в виде степеней числа 2:

$4 = 2^2$

$8 = 2^3$

Теперь преобразуем каждый корень:

$\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2^2} = 2^{\frac{2}{3}}$

$\sqrt[9]{8} = \sqrt[9]{2^3} = 2^{\frac{3}{9}} = 2^{\frac{1}{3}}$

Теперь исходное выражение можно записать как произведение степеней с одинаковым основанием:

$2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^x \cdot a^y = a^{x+y}$):

$2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = 2^{\frac{3}{3}} = 2^1 = 2$.

Ответ: 2.

2)

Дано: Выражение $\sqrt[7]{16} \cdot \sqrt[7]{-8}$.

Найти: Значение выражения.

Решение:

В данном выражении оба корня имеют одинаковый показатель (7), поэтому можно воспользоваться свойством произведения корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[7]{16} \cdot \sqrt[7]{-8} = \sqrt[7]{16 \cdot (-8)}$

Вычислим произведение под корнем:

$16 \cdot (-8) = -128$

Таким образом, выражение сводится к нахождению $\sqrt[7]{-128}$.

Нужно найти число, которое при возведении в седьмую степень равно -128. Так как $2^7 = 128$, то $(-2)^7 = -128$, поскольку степень нечетная.

Следовательно, $\sqrt[7]{-128} = -2$.

Ответ: -2.

3)

Дано: Выражение $\sqrt[5]{27} \cdot \sqrt[5]{9}$.

Найти: Значение выражения.

Решение:

Показатели корней одинаковы (5), поэтому используем свойство произведения корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[5]{27} \cdot \sqrt[5]{9} = \sqrt[5]{27 \cdot 9}$

Для упрощения подкоренного выражения представим числа 27 и 9 как степени числа 3:

$27 = 3^3$

$9 = 3^2$

Тогда произведение под корнем будет:

$27 \cdot 9 = 3^3 \cdot 3^2 = 3^{3+2} = 3^5$

Теперь подставим это значение обратно в корень:

$\sqrt[5]{3^5}$

По определению корня, $\sqrt[n]{a^n} = a$.

Следовательно, $\sqrt[5]{3^5} = 3$.

Ответ: 3.

4)

Дано: Выражение $\sqrt[3]{-25} \cdot \sqrt[6]{25}$.

Найти: Значение выражения.

Решение:

Поскольку показатель кубического корня (3) нечетный, мы можем вынести знак минус за знак корня: $\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}$.

$\sqrt[3]{-25} = -\sqrt[3]{25}$

Теперь выражение выглядит так: $-\sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[6]{25}$.

Для умножения корней с разными показателями, представим их в виде степеней с рациональными показателями:

$\sqrt[3]{25} = 25^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt[6]{25} = 25^{\frac{1}{6}}$

Подставим это в наше выражение:

$-(25^{\frac{1}{3}} \cdot 25^{\frac{1}{6}})$

Применяем свойство умножения степеней с одинаковым основанием, складывая показатели:

$-(25^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}})$

Сложим дроби в показателе, приведя их к общему знаменателю 6:

$\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Теперь выражение имеет вид:

$-(25^{\frac{1}{2}})$

Степень $\frac{1}{2}$ эквивалентна квадратному корню:

$25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$

Следовательно, итоговый результат равен $-5$.

Ответ: -5.