Номер 86, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

86. 1) $\sqrt[3]{a^3} - \sqrt{a^2}$, где $a \le 0$;

3) $\sqrt[4]{b^4} + 2\sqrt[7]{b^7}$, где $b \ge 0$;

2) $\sqrt[5]{x^5} - \sqrt[6]{x^6}$, где $x \ge 0$;

4) $\sqrt[3]{x^3} + \sqrt[8]{x^8}$, где $x \le 0$.

1)

Решение

Упростим выражение $\sqrt[3]{a^3} - \sqrt{a^2}$ при условии, что $a \le 0$.

Воспользуемся свойствами корней:
1. Корень нечетной степени из числа в той же степени равен самому числу, то есть $\sqrt[n]{x^n} = x$ для нечетного $n$.
2. Корень четной степени из числа в той же степени равен модулю этого числа, то есть $\sqrt[n]{x^n} = |x|$ для четного $n$.

Применяя эти свойства, получаем:
$\sqrt[3]{a^3} = a$, так как степень корня (3) нечетная.
$\sqrt{a^2} = |a|$, так как степень корня (2) четная.

Таким образом, исходное выражение преобразуется к виду: $a - |a|$.

По условию задачи $a \le 0$. Согласно определению модуля, для неположительного числа $a$ его модуль $|a|$ равен $-a$.

Подставим это значение в наше выражение: $a - (-a) = a + a = 2a$.

Ответ: $2a$.

2)

Решение

Упростим выражение $\sqrt[5]{x^5} - \sqrt[6]{x^6}$ при условии, что $x \ge 0$.

Используем свойства корней: $\sqrt[n]{x^n} = x$ для нечетного $n$ и $\sqrt[n]{x^n} = |x|$ для четного $n$.

Применяя эти свойства, получаем:
$\sqrt[5]{x^5} = x$ (так как степень корня 5 нечетная).
$\sqrt[6]{x^6} = |x|$ (так как степень корня 6 четная).

Выражение принимает вид: $x - |x|$.

По условию задачи $x \ge 0$. По определению модуля, для неотрицательного числа $x$ его модуль $|x|$ равен $x$.

Подставим это значение в выражение: $x - x = 0$.

Ответ: $0$.

3)

Решение

Упростим выражение $\sqrt[4]{b^4} + 2\sqrt[7]{b^7}$ при условии, что $b \ge 0$.

Используем свойства корней:
$\sqrt[4]{b^4} = |b|$ (так как степень корня 4 четная).
$\sqrt[7]{b^7} = b$ (так как степень корня 7 нечетная).

Выражение принимает вид: $|b| + 2\sqrt[7]{b^7} = |b| + 2b$.

По условию задачи $b \ge 0$. Следовательно, по определению модуля $|b| = b$.

Подставим это значение в выражение: $b + 2b = 3b$.

Ответ: $3b$.

4)

Решение

Упростим выражение $\sqrt[3]{x^3} + \sqrt[8]{x^8}$ при условии, что $x \le 0$.

Используем свойства корней:
$\sqrt[3]{x^3} = x$ (так как степень корня 3 нечетная).
$\sqrt[8]{x^8} = |x|$ (так как степень корня 8 четная).

Выражение принимает вид: $x + |x|$.

По условию задачи $x \le 0$. Следовательно, по определению модуля $|x| = -x$.

Подставим это значение в выражение: $x + (-x) = x - x = 0$.

Ответ: $0$.