Страница 41 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Упростите выражения (85–86):

85.1) $\sqrt[7]{x^7}$, рассмотрите два случая: $x \ge 0$; $x < 0;

2) $\sqrt[8]{x^8}$, $x \ge 0;$

3) $\sqrt[5]{x^5};$

4) $\sqrt{x^2}$, $x \ge 0.$

1) $\sqrt[7]{x^7}$, рассмотрите два случая: $x \ge 0$; $x < 0$

Решение

Рассмотрим выражение $\sqrt[7]{x^7}$. По условию, необходимо рассмотреть два случая: $x \ge 0$ и $x < 0$.

Общее правило для корней нечетной степени гласит, что для любого действительного числа $a$ и любого нечетного натурального числа $n$ (где $n \ge 3$) справедливо равенство: $\sqrt[n]{a^n} = a$.

В данном выражении показатель корня $n=7$ является нечетным. Следовательно, мы можем применить это правило.

Случай 1: $x \ge 0$

Применяя указанное выше свойство для неотрицательных $x$, получаем: $\sqrt[7]{x^7} = x$.

Случай 2: $x < 0$

Свойство корня нечетной степени справедливо и для отрицательных чисел. Поэтому, если $x < 0$, то $\sqrt[7]{x^7} = x$. Например, если $x=-2$, то $\sqrt[7]{(-2)^7} = \sqrt[7]{-128} = -2$.

Таким образом, выражение $\sqrt[7]{x^7}$ равно $x$ для любых действительных чисел $x$.

Ответ: $x$.

2) $\sqrt[8]{x^8}$, $x \ge 0$

Решение

Необходимо упростить выражение $\sqrt[8]{x^8}$ при условии $x \ge 0$.

Общее правило для корней четной степени гласит, что для любого действительного числа $a$ и любого четного натурального числа $n$ справедливо равенство: $\sqrt[n]{a^n} = |a|$.

В данном выражении показатель корня $n=8$ является четным. Применяя это правило, получаем: $\sqrt[8]{x^8} = |x|$.

Согласно условию задачи, переменная $x$ неотрицательна, то есть $x \ge 0$. По определению модуля, для любого неотрицательного числа $x$ верно, что $|x| = x$.

Подставляя это в наше выражение, получаем окончательный результат: $\sqrt[8]{x^8} = x$.

Ответ: $x$.

3) $\sqrt[5]{x^5}$

Решение

Необходимо упростить выражение $\sqrt[5]{x^5}$.

Показатель корня $n=5$ является нечетным числом.

Для корней нечетной степени справедливо тождество $\sqrt[n]{a^n} = a$ для любого действительного числа $a$.

Применяя это правило к нашему выражению, получаем: $\sqrt[5]{x^5} = x$.

Поскольку никаких дополнительных условий на $x$ не наложено, это является окончательным ответом.

Ответ: $x$.

4) $\sqrt{x^2}$, $x \ge 0$

Решение

Необходимо упростить выражение $\sqrt{x^2}$ при условии $x \ge 0$.

Квадратный корень — это корень с показателем $n=2$, который является четным числом.

Для корней четной степени справедливо тождество $\sqrt[n]{a^n} = |a|$. Применяя его, получаем: $\sqrt{x^2} = |x|$.

По условию задачи, $x \ge 0$. Для любого неотрицательного числа $x$ модуль равен самому числу, то есть $|x| = x$.

Следовательно, $\sqrt{x^2} = x$.

Ответ: $x$.

86. 1) $\sqrt[3]{a^3} - \sqrt{a^2}$, где $a \le 0$;

3) $\sqrt[4]{b^4} + 2\sqrt[7]{b^7}$, где $b \ge 0$;

2) $\sqrt[5]{x^5} - \sqrt[6]{x^6}$, где $x \ge 0$;

4) $\sqrt[3]{x^3} + \sqrt[8]{x^8}$, где $x \le 0$.

1)

Решение

Упростим выражение $\sqrt[3]{a^3} - \sqrt{a^2}$ при условии, что $a \le 0$.

Воспользуемся свойствами корней:
1. Корень нечетной степени из числа в той же степени равен самому числу, то есть $\sqrt[n]{x^n} = x$ для нечетного $n$.
2. Корень четной степени из числа в той же степени равен модулю этого числа, то есть $\sqrt[n]{x^n} = |x|$ для четного $n$.

Применяя эти свойства, получаем:
$\sqrt[3]{a^3} = a$, так как степень корня (3) нечетная.
$\sqrt{a^2} = |a|$, так как степень корня (2) четная.

Таким образом, исходное выражение преобразуется к виду: $a - |a|$.

По условию задачи $a \le 0$. Согласно определению модуля, для неположительного числа $a$ его модуль $|a|$ равен $-a$.

Подставим это значение в наше выражение: $a - (-a) = a + a = 2a$.

Ответ: $2a$.

2)

Решение

Упростим выражение $\sqrt[5]{x^5} - \sqrt[6]{x^6}$ при условии, что $x \ge 0$.

Используем свойства корней: $\sqrt[n]{x^n} = x$ для нечетного $n$ и $\sqrt[n]{x^n} = |x|$ для четного $n$.

Применяя эти свойства, получаем:
$\sqrt[5]{x^5} = x$ (так как степень корня 5 нечетная).
$\sqrt[6]{x^6} = |x|$ (так как степень корня 6 четная).

Выражение принимает вид: $x - |x|$.

По условию задачи $x \ge 0$. По определению модуля, для неотрицательного числа $x$ его модуль $|x|$ равен $x$.

Подставим это значение в выражение: $x - x = 0$.

Ответ: $0$.

3)

Решение

Упростим выражение $\sqrt[4]{b^4} + 2\sqrt[7]{b^7}$ при условии, что $b \ge 0$.

Используем свойства корней:
$\sqrt[4]{b^4} = |b|$ (так как степень корня 4 четная).
$\sqrt[7]{b^7} = b$ (так как степень корня 7 нечетная).

Выражение принимает вид: $|b| + 2\sqrt[7]{b^7} = |b| + 2b$.

По условию задачи $b \ge 0$. Следовательно, по определению модуля $|b| = b$.

Подставим это значение в выражение: $b + 2b = 3b$.

Ответ: $3b$.

4)

Решение

Упростим выражение $\sqrt[3]{x^3} + \sqrt[8]{x^8}$ при условии, что $x \le 0$.

Используем свойства корней:
$\sqrt[3]{x^3} = x$ (так как степень корня 3 нечетная).
$\sqrt[8]{x^8} = |x|$ (так как степень корня 8 четная).

Выражение принимает вид: $x + |x|$.

По условию задачи $x \le 0$. Следовательно, по определению модуля $|x| = -x$.

Подставим это значение в выражение: $x + (-x) = x - x = 0$.

Ответ: $0$.

Вычислите (87–89):

87. 1) $\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt{27} \cdot \sqrt[3]{-9}$;

2) $\sqrt[3]{500} \cdot \sqrt[3]{\frac{4}{25}} \cdot \sqrt[3]{100}$;

3) $\frac{\sqrt[3]{28} \cdot \sqrt[3]{45}}{\sqrt[3]{35}} \cdot \sqrt[3]{6}$;

4) $\frac{\sqrt[3]{81} \cdot \sqrt[3]{256}}{\sqrt[3]{12}}$.

1)

Дано:

Выражение $\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{27} \cdot \sqrt[3]{-9}$

Найти:

Значение выражения.

Решение:

Сгруппируем множители с одинаковыми показателями корня (кубические с кубическими, квадратные с квадратными):

$\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{27} \cdot \sqrt[3]{-9} = (\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{-9}) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{27})$

Используем свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$ для каждой группы:

Для кубических корней: $\sqrt[3]{3 \cdot (-9)} = \sqrt[3]{-27}$

Для квадратных корней: $\sqrt{3 \cdot 27} = \sqrt{81}$

Теперь вычислим значения полученных корней:

$\sqrt[3]{-27} = -3$

$\sqrt{81} = 9$

Перемножим полученные результаты:

$(-3) \cdot 9 = -27$

Ответ: -27.

2)

Дано:

Выражение $\sqrt[3]{500} \cdot \sqrt[3]{\frac{4}{25}} \cdot \sqrt[3]{100}$

Найти:

Значение выражения.

Решение:

Так как все корни имеют одинаковый показатель (кубический корень), воспользуемся свойством произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \cdot \sqrt[n]{c} = \sqrt[n]{abc}$ и объединим все множители под одним знаком корня:

$\sqrt[3]{500 \cdot \frac{4}{25} \cdot 100}$

Выполним вычисления под корнем:

$500 \cdot \frac{4}{25} \cdot 100 = \frac{500}{25} \cdot 4 \cdot 100 = 20 \cdot 4 \cdot 100 = 80 \cdot 100 = 8000$

Теперь извлечем кубический корень из полученного числа:

$\sqrt[3]{8000} = \sqrt[3]{8 \cdot 1000} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 10^3} = \sqrt[3]{(2 \cdot 10)^3} = \sqrt[3]{20^3} = 20$

Ответ: 20.

3)

Дано:

Выражение $\frac{\sqrt[3]{28} \cdot \sqrt[3]{45}}{\sqrt[3]{35}} \cdot \sqrt[3]{6}$

Найти:

Значение выражения.

Решение:

Используем свойства корней $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ и $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$, чтобы объединить все числа под одним знаком кубического корня:

$\sqrt[3]{\frac{28 \cdot 45}{35}} \cdot \sqrt[3]{6} = \sqrt[3]{\frac{28 \cdot 45 \cdot 6}{35}}$

Для упрощения подкоренного выражения разложим числа на простые множители:

$28 = 2^2 \cdot 7$

$45 = 3^2 \cdot 5$

$6 = 2 \cdot 3$

$35 = 5 \cdot 7$

Подставим разложения в выражение под корнем:

$\frac{(2^2 \cdot 7) \cdot (3^2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 3)}{5 \cdot 7}$

Сократим общие множители (5 и 7) в числителе и знаменателе:

$(2^2 \cdot 2) \cdot (3^2 \cdot 3) = 2^3 \cdot 3^3$

Теперь извлечем кубический корень:

$\sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3} = \sqrt[3]{(2 \cdot 3)^3} = \sqrt[3]{6^3} = 6$

Ответ: 6.

4)

Дано:

Выражение $\frac{\sqrt[3]{81} \cdot \sqrt[3]{256}}{\sqrt[3]{12}}$

Найти:

Значение выражения.

Решение:

Используем свойства корней, чтобы объединить все числа под одним знаком кубического корня:

$\sqrt[3]{\frac{81 \cdot 256}{12}}$

Для упрощения подкоренного выражения разложим числа на простые множители:

$81 = 3^4$

$256 = 2^8$

$12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

Подставим разложения в выражение под корнем:

$\frac{3^4 \cdot 2^8}{2^2 \cdot 3}$

Упростим выражение, используя свойства степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$3^{4-1} \cdot 2^{8-2} = 3^3 \cdot 2^6$

Теперь извлечем кубический корень:

$\sqrt[3]{3^3 \cdot 2^6} = \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{2^6} = 3^{3/3} \cdot 2^{6/3} = 3^1 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12$

Ответ: 12.

88. 1) $3 - \sqrt{\frac{25}{16}} - 0,2\sqrt[4]{625}$ ;

2) $2 \cdot \sqrt{\frac{49}{25}} + 0,8\sqrt[3]{0,008}$ ;

3) $0,25 \cdot \sqrt[3]{729} - 0,17\sqrt[4]{0,0016}$ ;

4) $5,6 \cdot \sqrt[5]{243} + 0,75\sqrt[3]{1,331}$ .

1) Для решения выполним следующие действия:
Первый член выражения: $3$.
Второй член: $\sqrt{1\frac{9}{16}}$. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{9}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 9}{16} = \frac{25}{16}$. Тогда $\sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4} = 1,25$.
Третий член: $0,2\sqrt[4]{625}$. Вычислим корень: $\sqrt[4]{625} = 5$, так как $5^4 = 625$. Тогда $0,2 \cdot 5 = 1$.
Теперь соберем все части вместе: $3 - 1,25 - 1 = 0,75$.

Ответ: 0,75.

2) Для решения выполним следующие действия:
Первый член: $2 \cdot \sqrt{1\frac{24}{25}}$. Преобразуем смешанное число: $1\frac{24}{25} = \frac{1 \cdot 25 + 24}{25} = \frac{49}{25}$. Вычислим корень: $\sqrt{\frac{49}{25}} = \frac{7}{5} = 1,4$. Тогда $2 \cdot 1,4 = 2,8$.
Второй член: $0,8\sqrt[3]{0,008}$. Вычислим корень: $\sqrt[3]{0,008} = 0,2$, так как $(0,2)^3 = 0,008$. Тогда $0,8 \cdot 0,2 = 0,16$.
Теперь сложим полученные значения: $2,8 + 0,16 = 2,96$.

Ответ: 2,96.

3) Для решения выполним следующие действия:
Первый член: $0,25 \cdot \sqrt[3]{729}$. Вычислим корень: $\sqrt[3]{729} = 9$, так как $9^3 = 729$. Тогда $0,25 \cdot 9 = 2,25$.
Второй член: $0,17\sqrt[4]{0,0016}$. Вычислим корень: $\sqrt[4]{0,0016} = 0,2$, так как $(0,2)^4 = 0,0016$. Тогда $0,17 \cdot 0,2 = 0,034$.
Теперь выполним вычитание: $2,25 - 0,034 = 2,216$.

Ответ: 2,216.

4) Для решения выполним следующие действия:
Первый член: $5,6 \cdot \sqrt[5]{243}$. Вычислим корень: $\sqrt[5]{243} = 3$, так как $3^5 = 243$. Тогда $5,6 \cdot 3 = 16,8$.
Второй член: $0,75\sqrt[3]{1,331}$. Вычислим корень: $\sqrt[3]{1,331} = 1,1$, так как $(1,1)^3 = 1,331$. Тогда $0,75 \cdot 1,1 = 0,825$.
Теперь выполним сложение: $16,8 + 0,825 = 17,625$.

Ответ: 17,625.

89. 1) $(3\sqrt{175}-2\sqrt{112}-3\sqrt{63})^2 + 0,25\sqrt[4]{10000}$;

2) $(5\sqrt{150}-3\sqrt{24}+2\sqrt{54})^2 - 0,02\sqrt[4]{625}$;

3) $\sqrt[3]{375} + 0,25\sqrt[3]{192} + 10\sqrt[3]{3000}$;

4) $5\sqrt[3]{24} + \sqrt[4]{0,1296} - 1,6\sqrt[3]{375}$.

1) $(3\sqrt{175}-2\sqrt{112}-3\sqrt{63})^2+0,25\sqrt[4]{10000}$

Решение:
Для решения упростим выражение по действиям. Сначала преобразуем выражение в скобках, вынеся множители из-под знака корня:
$\sqrt{175} = \sqrt{25 \cdot 7} = \sqrt{5^2 \cdot 7} = 5\sqrt{7}$
$\sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = \sqrt{4^2 \cdot 7} = 4\sqrt{7}$
$\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{3^2 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$
Подставим упрощенные корни в исходное выражение:
$(3 \cdot 5\sqrt{7} - 2 \cdot 4\sqrt{7} - 3 \cdot 3\sqrt{7})^2 + 0,25\sqrt[4]{10000} = (15\sqrt{7} - 8\sqrt{7} - 9\sqrt{7})^2 + 0,25\sqrt[4]{10^4}$
Выполним действия в скобках, приведя подобные слагаемые:
$(15 - 8 - 9)\sqrt{7} = -2\sqrt{7}$
Теперь возведем полученное выражение в квадрат:
$(-2\sqrt{7})^2 = (-2)^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 4 \cdot 7 = 28$
Далее вычислим второе слагаемое:
$0,25\sqrt[4]{10000} = 0,25 \cdot 10 = 2,5$
Наконец, сложим полученные результаты:
$28 + 2,5 = 30,5$
Ответ: $30,5$.

2) $(5\sqrt{150}-3\sqrt{24}+2\sqrt{54})^2-0,02\sqrt[4]{625}$

Решение:
Сначала упростим выражение в скобках, вынося множители из-под знака корня:
$\sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = 5\sqrt{6}$
$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$
$\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}$
Подставим упрощенные корни в выражение:
$(5 \cdot 5\sqrt{6} - 3 \cdot 2\sqrt{6} + 2 \cdot 3\sqrt{6})^2 - 0,02\sqrt[4]{625} = (25\sqrt{6} - 6\sqrt{6} + 6\sqrt{6})^2 - 0,02\sqrt[4]{5^4}$
Выполним действия в скобках:
$(25 - 6 + 6)\sqrt{6} = 25\sqrt{6}$
Возведем результат в квадрат:
$(25\sqrt{6})^2 = 25^2 \cdot (\sqrt{6})^2 = 625 \cdot 6 = 3750$
Вычислим вторую часть выражения:
$0,02\sqrt[4]{625} = 0,02 \cdot 5 = 0,1$
Вычтем второе значение из первого:
$3750 - 0,1 = 3749,9$
Ответ: $3749,9$.

3) $\sqrt[3]{375}+0,25\sqrt[3]{192}+10\sqrt[3]{3000}$

Решение:
Для решения необходимо упростить каждый член выражения, вынеся множители из-под знака кубического корня:
$\sqrt[3]{375} = \sqrt[3]{125 \cdot 3} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 3} = 5\sqrt[3]{3}$
$\sqrt[3]{192} = \sqrt[3]{64 \cdot 3} = \sqrt[3]{4^3 \cdot 3} = 4\sqrt[3]{3}$
$\sqrt[3]{3000} = \sqrt[3]{1000 \cdot 3} = \sqrt[3]{10^3 \cdot 3} = 10\sqrt[3]{3}$
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$5\sqrt[3]{3} + 0,25 \cdot (4\sqrt[3]{3}) + 10 \cdot (10\sqrt[3]{3})$
Выполним умножение:
$5\sqrt[3]{3} + 1\sqrt[3]{3} + 100\sqrt[3]{3}$
Сложим подобные слагаемые:
$(5 + 1 + 100)\sqrt[3]{3} = 106\sqrt[3]{3}$
Ответ: $106\sqrt[3]{3}$.

4) $5\sqrt[3]{24}+\sqrt[4]{0,1296}-1,6\sqrt[3]{375}$

Решение:
Упростим каждое слагаемое в выражении:
Первый член: $5\sqrt[3]{24} = 5\sqrt[3]{8 \cdot 3} = 5 \cdot 2\sqrt[3]{3} = 10\sqrt[3]{3}$
Второй член: $\sqrt[4]{0,1296} = \sqrt[4]{\frac{1296}{10000}} = \frac{\sqrt[4]{6^4}}{\sqrt[4]{10^4}} = \frac{6}{10} = 0,6$
Третий член: $1,6\sqrt[3]{375} = 1,6\sqrt[3]{125 \cdot 3} = 1,6 \cdot 5\sqrt[3]{3} = 8\sqrt[3]{3}$
Подставим упрощенные члены обратно в выражение:
$10\sqrt[3]{3} + 0,6 - 8\sqrt[3]{3}$
Сгруппируем и сложим подобные слагаемые:
$(10\sqrt[3]{3} - 8\sqrt[3]{3}) + 0,6 = 2\sqrt[3]{3} + 0,6$
Ответ: $2\sqrt[3]{3} + 0,6$.