Страница 48 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Вычислите (103–104):

$\frac{4 - 3 \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{(2^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{1}{4}})^2}$;

2) $\frac{(24^{\frac{1}{4}} + 6^{\frac{1}{4}})^2}{4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 6^{\frac{1}{2}}}$;

3) $\frac{(9^{\frac{1}{3}} + 3^{\frac{1}{2}})^2}{3^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 3^{\frac{1}{6}} + 1}$;

4) $\frac{1 - 2 \cdot 5^{\frac{1}{4}} + 5^{\frac{1}{2}}}{(5^{\frac{1}{2}} - 5^{\frac{3}{4}})^2}$.

1)

Решение:

Рассмотрим выражение: $ \frac{4 - 3 \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{\left(2^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{1}{4}}\right)^2} $

Сначала упростим знаменатель. Для этого воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$ \left(2^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{1}{4}}\right)^2 = \left(2^{\frac{1}{4}}\right)^2 - 2 \cdot 2^{\frac{1}{4}} \cdot 8^{\frac{1}{4}} + \left(8^{\frac{1}{4}}\right)^2 $
Упростим каждый член:
$ \left(2^{\frac{1}{4}}\right)^2 = 2^{\frac{2}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} $
$ 2 \cdot 2^{\frac{1}{4}} \cdot 8^{\frac{1}{4}} = 2 \cdot (2 \cdot 8)^{\frac{1}{4}} = 2 \cdot 16^{\frac{1}{4}} = 2 \cdot (2^4)^{\frac{1}{4}} = 2 \cdot 2 = 4 $
$ \left(8^{\frac{1}{4}}\right)^2 = 8^{\frac{2}{4}} = 8^{\frac{1}{2}} = (4 \cdot 2)^{\frac{1}{2}} = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} $
Таким образом, знаменатель равен:
$ 2^{\frac{1}{2}} - 4 + 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 4 $

Теперь подставим упрощенный знаменатель обратно в исходное выражение:
$ \frac{4 - 3 \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 4} $
Вынесем -1 за скобки в знаменателе:
$ \frac{4 - 3 \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{-(4 - 3 \cdot 2^{\frac{1}{2}})} = -1 $

Ответ: -1

2)

Решение:

Рассмотрим выражение: $ \frac{\left(24^{\frac{1}{4}} + 6^{\frac{1}{4}}\right)^2}{4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 6^{\frac{1}{2}}} $

Упростим числитель, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$ \left(24^{\frac{1}{4}} + 6^{\frac{1}{4}}\right)^2 = \left(24^{\frac{1}{4}}\right)^2 + 2 \cdot 24^{\frac{1}{4}} \cdot 6^{\frac{1}{4}} + \left(6^{\frac{1}{4}}\right)^2 $
Упростим каждый член:
$ \left(24^{\frac{1}{4}}\right)^2 = 24^{\frac{2}{4}} = 24^{\frac{1}{2}} = (4 \cdot 6)^{\frac{1}{2}} = 2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} $
$ 2 \cdot 24^{\frac{1}{4}} \cdot 6^{\frac{1}{4}} = 2 \cdot (24 \cdot 6)^{\frac{1}{4}} = 2 \cdot 144^{\frac{1}{4}} = 2 \cdot (12^2)^{\frac{1}{4}} = 2 \cdot 12^{\frac{2}{4}} = 2 \cdot 12^{\frac{1}{2}} = 2 \cdot (4 \cdot 3)^{\frac{1}{2}} = 2 \cdot 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} $
$ \left(6^{\frac{1}{4}}\right)^2 = 6^{\frac{2}{4}} = 6^{\frac{1}{2}} $
Сложив все члены, получаем числитель:
$ 2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 6^{\frac{1}{2}} = 3 \cdot 6^{\frac{1}{2}} + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} $

Теперь подставим упрощенный числитель обратно в исходное выражение:
$ \frac{3 \cdot 6^{\frac{1}{2}} + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{4 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 3 \cdot 6^{\frac{1}{2}}} $
Числитель и знаменатель равны, следовательно, их отношение равно 1.

Ответ: 1

3)

Решение:

Рассмотрим выражение: $ \frac{\left(9^{\frac{1}{3}} + 3^{\frac{1}{2}}\right)^2}{3^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 3^{\frac{1}{6}} + 1} $

Сначала преобразуем знаменатель. Заметим, что он похож на формулу полного квадрата $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Пусть $a = 3^{\frac{1}{6}}$ и $b = 1$. Тогда $a^2 = (3^{\frac{1}{6}})^2 = 3^{\frac{2}{6}} = 3^{\frac{1}{3}}$.
Знаменатель можно записать как: $ \left(3^{\frac{1}{6}}\right)^2 + 2 \cdot 3^{\frac{1}{6}} \cdot 1 + 1^2 = \left(3^{\frac{1}{6}} + 1\right)^2 $

Теперь преобразуем числитель. Сначала упростим выражение в скобках.
$ 9^{\frac{1}{3}} = (3^2)^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{2}{3}} $
Выражение в скобках: $3^{\frac{2}{3}} + 3^{\frac{1}{2}}$. Приведем степени к общему знаменателю 6: $3^{\frac{4}{6}} + 3^{\frac{3}{6}}$.
Вынесем за скобки общий множитель $3^{\frac{3}{6}} = 3^{\frac{1}{2}}$:
$ 3^{\frac{3}{6}}(3^{\frac{4-3}{6}} + 1) = 3^{\frac{1}{2}}(3^{\frac{1}{6}} + 1) $
Теперь возведем это выражение в квадрат:
$ \left(3^{\frac{1}{2}}\left(3^{\frac{1}{6}} + 1\right)\right)^2 = \left(3^{\frac{1}{2}}\right)^2 \cdot \left(3^{\frac{1}{6}} + 1\right)^2 = 3 \cdot \left(3^{\frac{1}{6}} + 1\right)^2 $

Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь:
$ \frac{3 \cdot \left(3^{\frac{1}{6}} + 1\right)^2}{\left(3^{\frac{1}{6}} + 1\right)^2} = 3 $

Ответ: 3

4)

Решение:

Рассмотрим выражение: $ \frac{1 - 2 \cdot 5^{\frac{1}{4}} + 5^{\frac{1}{2}}}{\left(5^{\frac{1}{2}} - 5^{\frac{3}{4}}\right)^2} $

Сначала преобразуем числитель. Заметим, что он представляет собой полный квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Пусть $a = 1$ и $b = 5^{\frac{1}{4}}$. Тогда $b^2 = (5^{\frac{1}{4}})^2 = 5^{\frac{2}{4}} = 5^{\frac{1}{2}}$.
Числитель можно записать как: $ 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 5^{\frac{1}{4}} + \left(5^{\frac{1}{4}}\right)^2 = \left(1 - 5^{\frac{1}{4}}\right)^2 $

Теперь преобразуем знаменатель. Сначала упростим выражение в скобках.
Приведем степени к общему знаменателю 4: $5^{\frac{2}{4}} - 5^{\frac{3}{4}}$.
Вынесем за скобки общий множитель $5^{\frac{2}{4}} = 5^{\frac{1}{2}}$:
$ 5^{\frac{2}{4}}(1 - 5^{\frac{3-2}{4}}) = 5^{\frac{1}{2}}(1 - 5^{\frac{1}{4}}) $
Теперь возведем это выражение в квадрат:
$ \left(5^{\frac{1}{2}}\left(1 - 5^{\frac{1}{4}}\right)\right)^2 = \left(5^{\frac{1}{2}}\right)^2 \cdot \left(1 - 5^{\frac{1}{4}}\right)^2 = 5 \cdot \left(1 - 5^{\frac{1}{4}}\right)^2 $

Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь:
$ \frac{\left(1 - 5^{\frac{1}{4}}\right)^2}{5 \cdot \left(1 - 5^{\frac{1}{4}}\right)^2} = \frac{1}{5} $

Ответ: $\frac{1}{5}$

104. 1) $(\frac{1}{13^{\frac{1}{2}} - 17^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{17^{\frac{1}{2}} + 13^{\frac{1}{2}}}) \cdot 13^{\frac{1}{2}}$;

2) $(\frac{5}{6^2 + 11} + \frac{5}{6^2 - 11}) \cdot 0,1 \cdot 6^{\frac{1}{2}}$;

3) $(8 - 28^{\frac{1}{2}})^{-1} + (8 + 28^{\frac{1}{2}})^{-1}$;

4) $(6 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2}})^{-1} + (6 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2}})^{-1}$.

1)

Решение:

Запишем выражение, используя знаки корня: $\left(\frac{1}{\sqrt{13} - \sqrt{17}} + \frac{1}{\sqrt{17} + \sqrt{13}}\right) \cdot \sqrt{13}$.

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $(\sqrt{13} - \sqrt{17})(\sqrt{17} + \sqrt{13})$. Заметим, что $\sqrt{17} + \sqrt{13} = \sqrt{13} + \sqrt{17}$.

Тогда знаменатель равен $(\sqrt{13} - \sqrt{17})(\sqrt{13} + \sqrt{17})$. Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(\sqrt{13})^2 - (\sqrt{17})^2 = 13 - 17 = -4$.

Теперь найдем числитель:

$1 \cdot (\sqrt{17} + \sqrt{13}) + 1 \cdot (\sqrt{13} - \sqrt{17}) = \sqrt{17} + \sqrt{13} + \sqrt{13} - \sqrt{17} = 2\sqrt{13}$.

Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{2\sqrt{13}}{-4} = -\frac{\sqrt{13}}{2}$.

Теперь умножим результат на $\sqrt{13}$:

$-\frac{\sqrt{13}}{2} \cdot \sqrt{13} = -\frac{(\sqrt{13})^2}{2} = -\frac{13}{2} = -6.5$.

Ответ: $-6.5$.

2)

Решение:

Вычислим значения в знаменателях дробей в скобках:

$6^2 + 11 = 36 + 11 = 47$.

$6^2 - 11 = 36 - 11 = 25$.

Теперь выражение выглядит так: $\left(\frac{5}{47} + \frac{5}{25}\right) \cdot 0.1 \cdot 6^{\frac{1}{2}}$.

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $47 \cdot 25 = 1175$:

$\frac{5 \cdot 25}{47 \cdot 25} + \frac{5 \cdot 47}{25 \cdot 47} = \frac{125}{1175} + \frac{235}{1175} = \frac{125 + 235}{1175} = \frac{360}{1175}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$\frac{360 \div 5}{1175 \div 5} = \frac{72}{235}$.

Теперь умножим результат на оставшуюся часть выражения $0.1 \cdot 6^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{10}\sqrt{6}$:

$\frac{72}{235} \cdot \frac{\sqrt{6}}{10} = \frac{72\sqrt{6}}{2350}$.

Сократим дробь на 2:

$\frac{36\sqrt{6}}{1175}$.

Ответ: $\frac{36\sqrt{6}}{1175}$.

3)

Решение:

Степень $-1$ означает обратное число, поэтому выражение можно переписать в виде дробей:

$(8 - 28^{\frac{1}{2}})^{-1} + (8 + 28^{\frac{1}{2}})^{-1} = \frac{1}{8 - \sqrt{28}} + \frac{1}{8 + \sqrt{28}}$.

Приведем дроби к общему знаменателю, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(8 - \sqrt{28})(8 + \sqrt{28}) = 8^2 - (\sqrt{28})^2 = 64 - 28 = 36$.

Найдем числитель:

$1 \cdot (8 + \sqrt{28}) + 1 \cdot (8 - \sqrt{28}) = 8 + \sqrt{28} + 8 - \sqrt{28} = 16$.

Результат равен $\frac{16}{36}$. Сократим дробь на 4:

$\frac{16 \div 4}{36 \div 4} = \frac{4}{9}$.

Ответ: $\frac{4}{9}$.

4)

Решение:

Перепишем выражение, используя дроби и знак корня:

$(6 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2}})^{-1} + (6 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2}})^{-1} = \frac{1}{6 + 4\sqrt{2}} + \frac{1}{6 - 4\sqrt{2}}$.

Приведем дроби к общему знаменателю, используя формулу разности квадратов:

$(6 + 4\sqrt{2})(6 - 4\sqrt{2}) = 6^2 - (4\sqrt{2})^2 = 36 - (16 \cdot 2) = 36 - 32 = 4$.

Найдем числитель:

$1 \cdot (6 - 4\sqrt{2}) + 1 \cdot (6 + 4\sqrt{2}) = 6 - 4\sqrt{2} + 6 + 4\sqrt{2} = 12$.

Результат равен $\frac{12}{4} = 3$.

Ответ: $3$.

105. Упростите:

1) $\left(\frac{1}{(a+1)^{\frac{1}{2}}} + (1-a)^{\frac{1}{2}}\right) : \left((1-a^2)^{\frac{1}{2}} + 1\right), -1 < a \le 1;$

2) $\frac{1+a^{\frac{1}{2}}}{1+a+a^{\frac{1}{2}}} : \frac{1}{1-a^{\frac{3}{2}}}, a \ge 0, a \ne 1.$

1)

Дано:

Выражение $ \left( \frac{1}{(a+1)^{\frac{1}{2}}} + (1-a)^{\frac{1}{2}} \right) : \left( (1-a^2)^{\frac{1}{2}} + 1 \right) $ при $ -1 < a \le 1 $.

Найти:

Упростить данное выражение.

Решение:

Запишем выражение, используя знаки корня вместо степеней с дробным показателем $1/2$. Условие $ -1 < a \le 1 $ гарантирует, что все подкоренные выражения неотрицательны, а знаменатели не равны нулю.

$ \left( \frac{1}{\sqrt{a+1}} + \sqrt{1-a} \right) : \left( \sqrt{1-a^2} + 1 \right) $

Сначала выполним действие в первых скобках, приведя слагаемые к общему знаменателю $ \sqrt{a+1} $:

$ \frac{1}{\sqrt{a+1}} + \sqrt{1-a} = \frac{1 + \sqrt{1-a} \cdot \sqrt{a+1}}{\sqrt{a+1}} $

Используя свойство корней $ \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{xy} $, а также формулу разности квадратов $ (x-y)(x+y)=x^2-y^2 $, получаем:

$ \frac{1 + \sqrt{(1-a)(1+a)}}{\sqrt{a+1}} = \frac{1 + \sqrt{1-a^2}}{\sqrt{a+1}} $

Теперь выполним деление полученного выражения на вторую скобку:

$ \frac{1 + \sqrt{1-a^2}}{\sqrt{a+1}} : ( \sqrt{1-a^2} + 1 ) $

Запишем деление в виде дроби:

$ \frac{\frac{1 + \sqrt{1-a^2}}{\sqrt{a+1}}}{1 + \sqrt{1-a^2}} $

Сократим одинаковые множители $ (1 + \sqrt{1-a^2}) $ в числителе и знаменателе. Этот множитель не равен нулю, так как $ \sqrt{1-a^2} \ge 0 $, следовательно, $ 1 + \sqrt{1-a^2} \ge 1 $.

$ \frac{1 + \sqrt{1-a^2}}{\sqrt{a+1}} \cdot \frac{1}{1 + \sqrt{1-a^2}} = \frac{1}{\sqrt{a+1}} $

Выражение также можно записать в виде $ (a+1)^{-\frac{1}{2}} $.

Ответ: $ \frac{1}{\sqrt{a+1}} $.

2)

Дано:

Выражение $ \frac{1+a^{\frac{1}{2}}}{1+a+a^{\frac{1}{2}}} : \frac{1}{1-a^{\frac{3}{2}}} $ при $ a \ge 0, a \ne 1 $.

Найти:

Упростить данное выражение.

Решение:

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$ \frac{1+a^{\frac{1}{2}}}{1+a+a^{\frac{1}{2}}} \cdot (1-a^{\frac{3}{2}}) $

Знаменатель первой дроби $ 1+a+a^{\frac{1}{2}} $ можно записать как $ 1+a^{\frac{1}{2}}+a $.

Множитель $ (1-a^{\frac{3}{2}}) $ можно разложить по формуле разности кубов $ x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2) $, где $ x=1 $ и $ y=a^{\frac{1}{2}} $:

$ 1 - a^{\frac{3}{2}} = 1^3 - (a^{\frac{1}{2}})^3 = (1 - a^{\frac{1}{2}})(1^2 + 1 \cdot a^{\frac{1}{2}} + (a^{\frac{1}{2}})^2) = (1 - a^{\frac{1}{2}})(1 + a^{\frac{1}{2}} + a) $

Подставим разложение в исходное выражение:

$ \frac{1+a^{\frac{1}{2}}}{1+a^{\frac{1}{2}}+a} \cdot (1 - a^{\frac{1}{2}})(1 + a^{\frac{1}{2}} + a) $

Сократим общий множитель $ (1+a^{\frac{1}{2}}+a) $. Этот множитель не равен нулю при $ a \ge 0 $.

После сокращения получим произведение:

$ (1+a^{\frac{1}{2}})(1-a^{\frac{1}{2}}) $

Это формула разности квадратов $ (x+y)(x-y) = x^2-y^2 $:

$ 1^2 - (a^{\frac{1}{2}})^2 = 1 - a $

Упрощение справедливо при заданных ограничениях $ a \ge 0, a \ne 1 $.

Ответ: $ 1-a $.