Страница 51 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

108. 1) $\sqrt[3]{7 - \sqrt{22}} \cdot \sqrt[3]{7 + \sqrt{22}};$

2) $\frac{1}{4 + 2\sqrt{3}} + \frac{1}{4 - 2\sqrt{3}};$

3) $\frac{3}{6 - 2\sqrt{6}} + \frac{3}{6 + 2\sqrt{6}};$

4) $\sqrt{3} + 2 + \frac{1}{2 + \sqrt{3}}.$

1) $\sqrt[3]{7-\sqrt{22}} \cdot \sqrt[3]{7+\sqrt{22}}$

Решение:

Воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[3]{7-\sqrt{22}} \cdot \sqrt[3]{7+\sqrt{22}} = \sqrt[3]{(7-\sqrt{22})(7+\sqrt{22})}$

Выражение в скобках под корнем является разностью квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=7$ и $b=\sqrt{22}$.

$(7-\sqrt{22})(7+\sqrt{22}) = 7^2 - (\sqrt{22})^2 = 49 - 22 = 27$.

Таким образом, исходное выражение равно:

$\sqrt[3]{27} = 3$.

Ответ: 3.

2) $\frac{1}{4+2\sqrt{3}} + \frac{1}{4-2\sqrt{3}}$

Решение:

Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей дробей:

$(4+2\sqrt{3})(4-2\sqrt{3})$

Это формула разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=4$ и $b=2\sqrt{3}$.

$(4+2\sqrt{3})(4-2\sqrt{3}) = 4^2 - (2\sqrt{3})^2 = 16 - (4 \cdot 3) = 16 - 12 = 4$.

Теперь сложим дроби:

$\frac{1 \cdot (4-2\sqrt{3})}{(4+2\sqrt{3})(4-2\sqrt{3})} + \frac{1 \cdot (4+2\sqrt{3})}{(4-2\sqrt{3})(4+2\sqrt{3})} = \frac{4-2\sqrt{3} + 4+2\sqrt{3}}{4}$

Упростим числитель:

$4-2\sqrt{3} + 4+2\sqrt{3} = 8$.

Получаем:

$\frac{8}{4} = 2$.

Ответ: 2.

3) $\frac{3}{6-2\sqrt{6}} + \frac{3}{6+2\sqrt{6}}$

Решение:

Приведем дроби к общему знаменателю $(6-2\sqrt{6})(6+2\sqrt{6})$.

Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=6$ и $b=2\sqrt{6}$.

$(6-2\sqrt{6})(6+2\sqrt{6}) = 6^2 - (2\sqrt{6})^2 = 36 - (4 \cdot 6) = 36 - 24 = 12$.

Теперь выполним сложение дробей:

$\frac{3(6+2\sqrt{6})}{(6-2\sqrt{6})(6+2\sqrt{6})} + \frac{3(6-2\sqrt{6})}{(6-2\sqrt{6})(6+2\sqrt{6})} = \frac{3(6+2\sqrt{6}) + 3(6-2\sqrt{6})}{12}$

Вынесем общий множитель 3 в числителе:

$\frac{3(6+2\sqrt{6} + 6-2\sqrt{6})}{12} = \frac{3(12)}{12}$

Сокращаем 12:

$\frac{3 \cdot 12}{12} = 3$.

Ответ: 3.

4) $\sqrt{3} + 2 + \frac{1}{2+\sqrt{3}}$

Решение:

Сначала упростим дробь $\frac{1}{2+\sqrt{3}}$, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $2-\sqrt{3}$:

$\frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$

Знаменатель представляет собой разность квадратов:

$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.

Таким образом, дробь равна:

$\frac{2-\sqrt{3}}{1} = 2-\sqrt{3}$.

Теперь подставим упрощенное значение дроби в исходное выражение:

$\sqrt{3} + 2 + (2-\sqrt{3}) = \sqrt{3} + 2 + 2 - \sqrt{3}$.

Приведем подобные слагаемые:

$(\sqrt{3} - \sqrt{3}) + (2+2) = 0 + 4 = 4$.

Ответ: 4.

109.

1) $(\sqrt{\frac{3}{2}} - 3\sqrt{\frac{3}{8}} + 4\sqrt{1,5}) \cdot 2\sqrt{\frac{2}{3}};

2) $(\sqrt{0,75} + 3\sqrt{\frac{1}{27}} - \sqrt{6,75}) \cdot \sqrt{3};

3) $(\sqrt[3]{\frac{1}{6}} - \sqrt[3]{36} + \sqrt[3]{4,5}) \cdot \sqrt[3]{\frac{3}{4}};

4) $(\sqrt[4]{\frac{125}{27}} - \sqrt[4]{375} - \frac{1}{\sqrt[4]{135}}) \cdot \sqrt[4]{\frac{5}{3}}.

1) $(\sqrt{\frac{3}{2}} - 3\sqrt{\frac{3}{8}} + 4\sqrt{1,5}) \cdot 2\sqrt{\frac{2}{3}}$

Решение

Сначала упростим выражение в скобках. Для этого приведем все слагаемые к общему виду, выделив радикал $\sqrt{\frac{3}{2}}$.

$\sqrt{\frac{3}{2}}$

$3\sqrt{\frac{3}{8}} = 3\sqrt{\frac{3}{4 \cdot 2}} = 3\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = 3\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}\sqrt{\frac{3}{2}}$

$4\sqrt{1,5} = 4\sqrt{\frac{3}{2}}$

Подставим упрощенные выражения обратно в скобки:

$(\sqrt{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} + 4\sqrt{\frac{3}{2}}) = (1 - \frac{3}{2} + 4)\sqrt{\frac{3}{2}} = (\frac{2 - 3 + 8}{2})\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{7}{2}\sqrt{\frac{3}{2}}$

Теперь умножим результат на второй множитель:

$\frac{7}{2}\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot 2\sqrt{\frac{2}{3}} = 7 \cdot (\sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}) = 7 \cdot \sqrt{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 7 \cdot \sqrt{1} = 7$

Ответ: 7

2) $(\sqrt{0,75} + 3\sqrt{\frac{1}{27}} - \sqrt{6,75}) \cdot \sqrt{3}$

Решение

Упростим каждый член в скобках, приведя десятичные и обыкновенные дроби к виду, удобному для извлечения корня. Общий радикал будет $\sqrt{3}$.

$\sqrt{0,75} = \sqrt{\frac{75}{100}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$3\sqrt{\frac{1}{27}} = 3 \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{27}} = 3 \cdot \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sqrt{6,75} = \sqrt{\frac{675}{100}} = \sqrt{\frac{27 \cdot 25}{4 \cdot 25}} = \sqrt{\frac{27}{4}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{3\sqrt{3}}{2}) \cdot \sqrt{3}$

Вынесем общий множитель $\sqrt{3}$ за скобки внутри скобок:

$(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{3}{2})\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = (\frac{3 + 2 - 9}{6}) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})$

$(\frac{-4}{6}) \cdot 3 = -\frac{2}{3} \cdot 3 = -2$

Ответ: -2

3) $(\sqrt[3]{\frac{1}{6}} - \sqrt[3]{36} + \sqrt[3]{4,5}) \cdot \sqrt[3]{\frac{3}{4}}$

Решение

Вместо упрощения каждого члена в скобках, раскроем скобки, умножив каждый член на $\sqrt[3]{\frac{3}{4}}$.

$(\sqrt[3]{\frac{1}{6}} - \sqrt[3]{36} + \sqrt[3]{4,5}) \cdot \sqrt[3]{\frac{3}{4}} = \sqrt[3]{\frac{1}{6}} \cdot \sqrt[3]{\frac{3}{4}} - \sqrt[3]{36} \cdot \sqrt[3]{\frac{3}{4}} + \sqrt[3]{4,5} \cdot \sqrt[3]{\frac{3}{4}}$

Вычислим каждое произведение отдельно:

$\sqrt[3]{\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{4}} = \sqrt[3]{\frac{3}{24}} = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$

$\sqrt[3]{36 \cdot \frac{3}{4}} = \sqrt[3]{\frac{36 \cdot 3}{4}} = \sqrt[3]{9 \cdot 3} = \sqrt[3]{27} = 3$

$\sqrt[3]{4,5 \cdot \frac{3}{4}} = \sqrt[3]{\frac{9}{2} \cdot \frac{3}{4}} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2}$

Теперь сложим полученные результаты:

$\frac{1}{2} - 3 + \frac{3}{2} = (\frac{1}{2} + \frac{3}{2}) - 3 = \frac{4}{2} - 3 = 2 - 3 = -1$

Ответ: -1

4) $(\sqrt[4]{\frac{125}{27}} - \sqrt[4]{375} - \frac{1}{\sqrt[4]{135}}) \cdot \sqrt[4]{\frac{5}{3}}$

Решение

Как и в предыдущем примере, раскроем скобки, умножив каждый член на $\sqrt[4]{\frac{5}{3}}$.

$(\sqrt[4]{\frac{125}{27}} - \sqrt[4]{375} - \frac{1}{\sqrt[4]{135}}) \cdot \sqrt[4]{\frac{5}{3}} = \sqrt[4]{\frac{125}{27}} \cdot \sqrt[4]{\frac{5}{3}} - \sqrt[4]{375} \cdot \sqrt[4]{\frac{5}{3}} - \frac{1}{\sqrt[4]{135}} \cdot \sqrt[4]{\frac{5}{3}}$

Вычислим каждое произведение отдельно. Для удобства представим числа в виде степеней простых чисел.

$\sqrt[4]{\frac{125}{27} \cdot \frac{5}{3}} = \sqrt[4]{\frac{5^3}{3^3} \cdot \frac{5}{3}} = \sqrt[4]{\frac{5^4}{3^4}} = \frac{5}{3}$

$\sqrt[4]{375 \cdot \frac{5}{3}} = \sqrt[4]{(125 \cdot 3) \cdot \frac{5}{3}} = \sqrt[4]{125 \cdot 5} = \sqrt[4]{625} = \sqrt[4]{5^4} = 5$

$\frac{1}{\sqrt[4]{135}} \cdot \sqrt[4]{\frac{5}{3}} = \sqrt[4]{\frac{1}{135} \cdot \frac{5}{3}} = \sqrt[4]{\frac{5}{135 \cdot 3}} = \sqrt[4]{\frac{5}{405}} = \sqrt[4]{\frac{1}{81}} = \sqrt[4]{\frac{1}{3^4}} = \frac{1}{3}$

Теперь сложим полученные результаты:

$\frac{5}{3} - 5 - \frac{1}{3} = (\frac{5}{3} - \frac{1}{3}) - 5 = \frac{4}{3} - 5 = \frac{4}{3} - \frac{15}{3} = -\frac{11}{3}$

Ответ: $-\frac{11}{3}$

110. Освободите от иррациональности знаменатель дроби:

1) $\frac{6}{\sqrt{7}-1}$;

2) $\frac{5}{\sqrt{6}+1}$;

3) $\frac{2}{x+\sqrt{a}}>;

4) $\frac{3}{x-\sqrt{a}}.$

5) $\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}};

6) $\frac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{5}};

7) $\frac{3}{\sqrt{8}-\sqrt{5}};

8) $\frac{x-\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}}.$

1) Решение. Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $ \sqrt{7}+1 $. В знаменателе используем формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $.
$ \frac{6}{\sqrt{7}-1} = \frac{6(\sqrt{7}+1)}{(\sqrt{7}-1)(\sqrt{7}+1)} = \frac{6(\sqrt{7}+1)}{(\sqrt{7})^2 - 1^2} = \frac{6(\sqrt{7}+1)}{7-1} = \frac{6(\sqrt{7}+1)}{6} = \sqrt{7}+1 $.
Ответ: $ \sqrt{7}+1 $.

2) Решение. Умножим числитель и знаменатель на выражение $ \sqrt{6}-1 $, сопряженное знаменателю:
$ \frac{5}{\sqrt{6}+1} = \frac{5(\sqrt{6}-1)}{(\sqrt{6}+1)(\sqrt{6}-1)} = \frac{5(\sqrt{6}-1)}{(\sqrt{6})^2 - 1^2} = \frac{5(\sqrt{6}-1)}{6-1} = \frac{5(\sqrt{6}-1)}{5} = \sqrt{6}-1 $.
Ответ: $ \sqrt{6}-1 $.

3) Решение. Умножим числитель и знаменатель на выражение $ x-\sqrt{a} $, сопряженное знаменателю (при условии $ x^2 \neq a, a \ge 0 $):
$ \frac{2}{x+\sqrt{a}} = \frac{2(x-\sqrt{a})}{(x+\sqrt{a})(x-\sqrt{a})} = \frac{2(x-\sqrt{a})}{x^2 - (\sqrt{a})^2} = \frac{2(x-\sqrt{a})}{x^2 - a} $.
Ответ: $ \frac{2(x-\sqrt{a})}{x^2-a} $.

4) Решение. Умножим числитель и знаменатель на выражение $ x+\sqrt{a} $, сопряженное знаменателю (при условии $ x^2 \neq a, a \ge 0 $):
$ \frac{3}{x-\sqrt{a}} = \frac{3(x+\sqrt{a})}{(x-\sqrt{a})(x+\sqrt{a})} = \frac{3(x+\sqrt{a})}{x^2 - (\sqrt{a})^2} = \frac{3(x+\sqrt{a})}{x^2 - a} $.
Ответ: $ \frac{3(x+\sqrt{a})}{x^2-a} $.

5) Решение. Умножим числитель и знаменатель на выражение $ \sqrt{6}-\sqrt{2} $, сопряженное знаменателю:
$ \frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{6-2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} $.

6) Решение. Умножим числитель и знаменатель на выражение $ \sqrt{7}+\sqrt{5} $, сопряженное знаменателю:
$ \frac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} = \frac{4(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})} = \frac{4(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{4(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{7-5} = \frac{4(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{2} = 2(\sqrt{7}+\sqrt{5}) $.
Ответ: $ 2(\sqrt{7}+\sqrt{5}) $.

7) Решение. Умножим числитель и знаменатель на выражение $ \sqrt{8}+\sqrt{5} $, сопряженное знаменателю, и упростим $ \sqrt{8}=2\sqrt{2} $:
$ \frac{3}{\sqrt{8}-\sqrt{5}} = \frac{3(\sqrt{8}+\sqrt{5})}{(\sqrt{8}-\sqrt{5})(\sqrt{8}+\sqrt{5})} = \frac{3(\sqrt{8}+\sqrt{5})}{(\sqrt{8})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{3(\sqrt{8}+\sqrt{5})}{8-5} = \frac{3(\sqrt{8}+\sqrt{5})}{3} = \sqrt{8}+\sqrt{5} = 2\sqrt{2}+\sqrt{5} $.
Ответ: $ 2\sqrt{2}+\sqrt{5} $.

8) Решение. Умножим числитель и знаменатель на выражение $ x-\sqrt{2} $, сопряженное знаменателю (при условии $ x^2 \neq 2 $). В числителе применим формулу квадрата разности $ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $:
$ \frac{x-\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}} = \frac{(x-\sqrt{2})(x-\sqrt{2})}{(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})} = \frac{(x-\sqrt{2})^2}{x^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{x^2 - 2x\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{x^2-2} = \frac{x^2-2x\sqrt{2}+2}{x^2-2} $.
Ответ: $ \frac{x^2-2x\sqrt{2}+2}{x^2-2} $.

Упростите (111-112):

111.1) $(\frac{1}{\sqrt[4]{a}-1} - \frac{\sqrt[4]{a}+1}{\sqrt{a}}) \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt[4]{a}-1};$

2) $\frac{x-1}{\sqrt{x}+1} : \frac{\sqrt[3]{x}+1}{\sqrt[3]{x^2}-1} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}-1} + \sqrt{x};$

3) $(\frac{1}{a+\sqrt{a}\sqrt{b}} + \frac{1}{a-\sqrt{a}\sqrt{b}}) \cdot \frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2};$

4) $\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}} : \frac{1}{x^2-\sqrt{x}} \cdot$

1)

Решение:

Упростим выражение по действиям. Сначала выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $\sqrt{a}(\sqrt[4]{a}-1)$:

$\left(\frac{1}{\sqrt[4]{a}-1} - \frac{\sqrt[4]{a}+1}{\sqrt{a}}\right) = \frac{1 \cdot \sqrt{a}}{(\sqrt[4]{a}-1)\sqrt{a}} - \frac{(\sqrt[4]{a}+1)(\sqrt[4]{a}-1)}{\sqrt{a}(\sqrt[4]{a}-1)}$

В числителе второй дроби применим формулу разности квадратов $(\sqrt[4]{a}+1)(\sqrt[4]{a}-1) = (\sqrt[4]{a})^2 - 1^2 = \sqrt{a}-1$. Тогда выражение в скобках примет вид:

$\frac{\sqrt{a} - (\sqrt{a}-1)}{\sqrt{a}(\sqrt[4]{a}-1)} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{a} + 1}{\sqrt{a}(\sqrt[4]{a}-1)} = \frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt[4]{a}-1)}$

Теперь умножим полученный результат на вторую часть исходного выражения:

$\frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt[4]{a}-1)} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt[4]{a}-1} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt[4]{a}-1)^2}$

Сократим дробь на $\sqrt{a}$:

$\frac{1}{(\sqrt[4]{a}-1)^2}$

Ответ: $\frac{1}{(\sqrt[4]{a}-1)^2}$.

2)

Решение:

Упростим выражение по действиям, соблюдая их порядок: деление и умножение слева направо, затем сложение.

1. Упростим первую дробь $\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}$. Применим в числителе формулу разности квадратов $x-1 = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$:

$\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}+1} = \sqrt{x}-1$

2. Теперь выполним деление: $(\sqrt{x}-1) : \frac{\sqrt[3]{x}+1}{\sqrt[3]{x^2}-1}$. Заменим деление умножением на обратную дробь:

$(\sqrt{x}-1) \cdot \frac{\sqrt[3]{x^2}-1}{\sqrt[3]{x}+1}$

Упростим вторую дробь, разложив ее числитель по формуле разности квадратов $\sqrt[3]{x^2}-1 = (\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt[3]{x}+1)$:

$(\sqrt{x}-1) \cdot \frac{(\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt[3]{x}+1)}{\sqrt[3]{x}+1} = (\sqrt{x}-1)(\sqrt[3]{x}-1)$

3. Умножим полученное выражение на следующую дробь $\frac{1}{\sqrt[3]{x}-1}$:

$(\sqrt{x}-1)(\sqrt[3]{x}-1) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}-1}$

Сократив $(\sqrt[3]{x}-1)$, получим $\sqrt{x}-1$.

4. Наконец, выполним сложение с последним членом выражения:

$(\sqrt{x}-1) + \sqrt{x} = 2\sqrt{x}-1$

Ответ: $2\sqrt{x}-1$.

3)

Решение:

Упростим каждый из сомножителей по отдельности.

1. Рассмотрим выражение в скобках: $\left(\frac{1}{a+\sqrt{ab}} + \frac{1}{a-\sqrt{ab}}\right)$. Приведем дроби к общему знаменателю. Для этого сначала вынесем общий множитель в знаменателях: $a+\sqrt{ab} = \sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$ и $a-\sqrt{ab} = \sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})$.

Общий знаменатель: $\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = \sqrt{a}(a-b)$.

$\frac{1 \cdot (\sqrt{a}-\sqrt{b}) + 1 \cdot (\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}(a-b)} = \frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}(a-b)} = \frac{2}{a-b}$

2. Упростим второй сомножитель: $\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$. Используем формулу разности кубов $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a^2+ab+b^2} = a-b$

3. Перемножим полученные упрощенные выражения:

$\frac{2}{a-b} \cdot (a-b) = 2$

Ответ: $2$.

4)

Решение:

Для упрощения выражения выполним деление. Сначала преобразуем делимое и делитель.

1. Делимое: $\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}$. В знаменателе вынесем за скобки $\sqrt{x}$:

$\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(x+\sqrt{x}+1)}$

2. Делитель: $\frac{1}{x^2-\sqrt{x}}$. Операция деления эквивалентна умножению на обратную дробь, то есть на $x^2-\sqrt{x}$. Разложим это выражение на множители:

$x^2-\sqrt{x} = \sqrt{x} \cdot x\sqrt{x} - \sqrt{x} = \sqrt{x}(x\sqrt{x}-1) = \sqrt{x}((\sqrt{x})^3-1)$

Применим формулу разности кубов к выражению $(\sqrt{x})^3-1^3$:

$\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)((\sqrt{x})^2+\sqrt{x} \cdot 1+1^2) = \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)$

3. Теперь выполним деление, умножив преобразованное делимое на преобразованный делитель:

$\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(x+\sqrt{x}+1)} \cdot \left( \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1) \right)$

Сокращаем общие множители $\sqrt{x}$ и $(x+\sqrt{x}+1)$ в числителе и знаменателе:

$(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)$

По формуле разности квадратов получаем:

$(\sqrt{x})^2 - 1^2 = x-1$

Ответ: $x-1$.

112.1) $\frac{p - q}{\sqrt[3]{p} - \sqrt[3]{q}} - \sqrt[3]{pq}$, $p \neq q$;

2) $\frac{\sqrt{p^3} + \sqrt{q^3}}{\sqrt{p} + \sqrt{q}} + \sqrt{pq}$, $p > 0, q > 0$;

3) $\frac{\sqrt{ab^2} - a\sqrt{b}}{(ab)^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{b^3} + \sqrt{a}$, $a > 0, b > 0$;

4) $\frac{\sqrt[3]{a^2 b} - a\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{(ab)}} + \sqrt[3]{a^2}$, $a \neq 0, b \neq 0$.

1)Решение:
Для упрощения выражения $\frac{p-q}{\sqrt[3]{p}-\sqrt[3]{q}} - \sqrt[3]{pq}$ при $p \neq q$, воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Представим числитель дроби $p-q$ как разность кубов, положив $a = \sqrt[3]{p}$ и $b = \sqrt[3]{q}$. Тогда $p = a^3$ и $q = b^3$.
$p-q = (\sqrt[3]{p})^3 - (\sqrt[3]{q})^3 = (\sqrt[3]{p}-\sqrt[3]{q})((\sqrt[3]{p})^2 + \sqrt[3]{p}\sqrt[3]{q} + (\sqrt[3]{q})^2) = (\sqrt[3]{p}-\sqrt[3]{q})(\sqrt[3]{p^2} + \sqrt[3]{pq} + \sqrt[3]{q^2})$.
Подставим это разложение в исходное выражение:
$\frac{(\sqrt[3]{p}-\sqrt[3]{q})(\sqrt[3]{p^2} + \sqrt[3]{pq} + \sqrt[3]{q^2})}{\sqrt[3]{p}-\sqrt[3]{q}} - \sqrt[3]{pq}$
Поскольку по условию $p \neq q$, то $\sqrt[3]{p} \neq \sqrt[3]{q}$, и знаменатель не равен нулю. Мы можем сократить дробь на общий множитель $(\sqrt[3]{p}-\sqrt[3]{q})$:
$(\sqrt[3]{p^2} + \sqrt[3]{pq} + \sqrt[3]{q^2}) - \sqrt[3]{pq} = \sqrt[3]{p^2} + \sqrt[3]{q^2}$.
Ответ: $\sqrt[3]{p^2} + \sqrt[3]{q^2}$.

2)Решение:
Упростим выражение $\frac{\sqrt{p^3}+\sqrt{q^3}}{\sqrt{p}+\sqrt{q}} + \sqrt{pq}$ при $p > 0, q > 0$.
Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Представим числитель дроби $\sqrt{p^3}+\sqrt{q^3}$ как сумму кубов, положив $a = \sqrt{p}$ и $b = \sqrt{q}$.
$\sqrt{p^3}+\sqrt{q^3} = (\sqrt{p})^3 + (\sqrt{q})^3 = (\sqrt{p}+\sqrt{q})((\sqrt{p})^2 - \sqrt{p}\sqrt{q} + (\sqrt{q})^2) = (\sqrt{p}+\sqrt{q})(p - \sqrt{pq} + q)$.
Подставим это в исходное выражение:
$\frac{(\sqrt{p}+\sqrt{q})(p - \sqrt{pq} + q)}{\sqrt{p}+\sqrt{q}} + \sqrt{pq}$
Так как $p > 0$ и $q > 0$, то $\sqrt{p}+\sqrt{q} > 0$, и мы можем сократить дробь на $(\sqrt{p}+\sqrt{q})$:
$(p - \sqrt{pq} + q) + \sqrt{pq} = p + q$.
Ответ: $p+q$.

3)Решение:
Упростим выражение $\frac{\sqrt{ab^2} - a\sqrt{b}}{(ab)^{1/2}} - \sqrt{b^3} + \sqrt{a}$ при $a > 0, b > 0$.
Преобразуем каждый член выражения:
$\sqrt{ab^2} = \sqrt{a}\sqrt{b^2} = b\sqrt{a}$ (так как $b > 0$).
$(ab)^{1/2} = \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$.
$\sqrt{b^3} = \sqrt{b^2 \cdot b} = b\sqrt{b}$.
Выражение принимает вид:
$\frac{b\sqrt{a} - a\sqrt{b}}{\sqrt{a}\sqrt{b}} - b\sqrt{b} + \sqrt{a}$
Упростим дробь, разделив почленно числитель на знаменатель:
$\frac{b\sqrt{a}}{\sqrt{a}\sqrt{b}} - \frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{a}\sqrt{b}} = \frac{b}{\sqrt{b}} - \frac{a}{\sqrt{a}} = \sqrt{b} - \sqrt{a}$.
Подставим упрощенную дробь обратно в выражение:
$(\sqrt{b} - \sqrt{a}) - b\sqrt{b} + \sqrt{a} = \sqrt{b} - \sqrt{a} - b\sqrt{b} + \sqrt{a} = \sqrt{b} - b\sqrt{b}$.
Можно вынести общий множитель $\sqrt{b}$ за скобки: $\sqrt{b}(1-b)$.
Ответ: $\sqrt{b}(1-b)$.

4)Решение:
Упростим выражение $\frac{\sqrt[3]{a^2b} - a\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{ab}} + \sqrt[3]{a^2}$ при $a \neq 0, b \neq 0$.
Сначала преобразуем дробь. В числителе можно вынести за скобки общий множитель $\sqrt[3]{b}$:
$\frac{\sqrt[3]{b}(\sqrt[3]{a^2} - a)}{\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}}$
Так как $b \neq 0$, то $\sqrt[3]{b} \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $\sqrt[3]{b}$:
$\frac{\sqrt[3]{a^2} - a}{\sqrt[3]{a}}$
Теперь разделим почленно числитель на знаменатель:
$\frac{\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{a}} - \frac{a}{\sqrt[3]{a}} = \sqrt[3]{\frac{a^2}{a}} - \frac{(\sqrt[3]{a})^3}{\sqrt[3]{a}} = \sqrt[3]{a} - (\sqrt[3]{a})^2 = \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{a^2}$.
Подставим полученный результат в исходное выражение:
$(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{a^2}) + \sqrt[3]{a^2} = \sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a^2} = \sqrt[3]{a}$.
Ответ: $\sqrt[3]{a}$.

113. Освободите от иррациональности знаменатель дроби:

1) $\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}+4\sqrt{2}};

2) $\frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{2}-2\sqrt{3}};

3) $-\frac{7}{\sqrt{5}-2\sqrt{3}};

4) $\frac{15}{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}.$

5) $\frac{6}{2-3\sqrt{2}};

6) $\frac{32}{3+\sqrt[3]{5}};

7) $\frac{1-b}{\sqrt{1-\sqrt{b}}}, 0 \le b < 1;

8) $\frac{1-a}{\sqrt{1+\sqrt{a}}}, a \ge 0.$

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}+4\sqrt{2}}$, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $2\sqrt{3}-4\sqrt{2}$. Используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}+4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} \cdot (2\sqrt{3}-4\sqrt{2})}{(2\sqrt{3}+4\sqrt{2}) \cdot (2\sqrt{3}-4\sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{6}-4\sqrt{2}\sqrt{2}}{(2\sqrt{3})^2 - (4\sqrt{2})^2} = \frac{2\sqrt{6}-4 \cdot 2}{4 \cdot 3 - 16 \cdot 2} = \frac{2\sqrt{6}-8}{12-32} = \frac{2\sqrt{6}-8}{-20}.$

Вынесем общий множитель 2 в числителе, изменим знак дроби и сократим ее:

$\frac{-(8-2\sqrt{6})}{-20} = \frac{8-2\sqrt{6}}{20} = \frac{2(4-\sqrt{6})}{20} = \frac{4-\sqrt{6}}{10}.$

Ответ: $\frac{4-\sqrt{6}}{10}$.

2) Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{2}-2\sqrt{3}}$ на сопряженное к знаменателю выражение $4\sqrt{2}+2\sqrt{3}$.

$\frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{2}-2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(4\sqrt{2}+2\sqrt{3})}{(4\sqrt{2}-2\sqrt{3})(4\sqrt{2}+2\sqrt{3})} = \frac{4\sqrt{6}+2(\sqrt{3})^2}{(4\sqrt{2})^2-(2\sqrt{3})^2} = \frac{4\sqrt{6}+2 \cdot 3}{16 \cdot 2 - 4 \cdot 3} = \frac{4\sqrt{6}+6}{32-12} = \frac{4\sqrt{6}+6}{20}.$

Сократим дробь на 2:

$\frac{2(2\sqrt{6}+3)}{20} = \frac{2\sqrt{6}+3}{10}.$

Ответ: $\frac{2\sqrt{6}+3}{10}$.

3) Рассмотрим дробь $\frac{7}{\sqrt{5}-2\sqrt{3}}$ и умножим ее числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{5}+2\sqrt{3}$.

$\frac{7}{\sqrt{5}-2\sqrt{3}} = \frac{7(\sqrt{5}+2\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-2\sqrt{3})(\sqrt{5}+2\sqrt{3})} = \frac{7\sqrt{5}+14\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (2\sqrt{3})^2} = \frac{7\sqrt{5}+14\sqrt{3}}{5 - 4 \cdot 3} = \frac{7\sqrt{5}+14\sqrt{3}}{5-12} = \frac{7(\sqrt{5}+2\sqrt{3})}{-7} = -(\sqrt{5}+2\sqrt{3}).$

Исходное выражение равно:

$-\frac{7}{\sqrt{5}-2\sqrt{3}} = -(-(\sqrt{5}+2\sqrt{3})) = \sqrt{5}+2\sqrt{3}.$

Ответ: $\sqrt{5}+2\sqrt{3}$.

4) Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{15}{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ на сопряженное выражение $3\sqrt{2}+\sqrt{3}$.

$\frac{15}{3\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{15(3\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(3\sqrt{2}-\sqrt{3})(3\sqrt{2}+\sqrt{3})} = \frac{15(3\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(3\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2} = \frac{15(3\sqrt{2}+\sqrt{3})}{9 \cdot 2 - 3} = \frac{15(3\sqrt{2}+\sqrt{3})}{18-3} = \frac{15(3\sqrt{2}+\sqrt{3})}{15}.$

Сократим дробь на 15:

$3\sqrt{2}+\sqrt{3}.$

Ответ: $3\sqrt{2}+\sqrt{3}$.

5) Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{6}{2-3\sqrt{2}}$ на сопряженное выражение $2+3\sqrt{2}$.

$\frac{6}{2-3\sqrt{2}} = \frac{6(2+3\sqrt{2})}{(2-3\sqrt{2})(2+3\sqrt{2})} = \frac{12+18\sqrt{2}}{2^2-(3\sqrt{2})^2} = \frac{12+18\sqrt{2}}{4-9 \cdot 2} = \frac{12+18\sqrt{2}}{4-18} = \frac{12+18\sqrt{2}}{-14}.$

Сократим дробь на 2:

$\frac{2(6+9\sqrt{2})}{-14} = \frac{6+9\sqrt{2}}{-7} = -\frac{6+9\sqrt{2}}{7}.$

Ответ: $-\frac{6+9\sqrt{2}}{7}$.

6) Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{32}{3+3\sqrt{5}}$ на сопряженное выражение $3-3\sqrt{5}$.

$\frac{32}{3+3\sqrt{5}} = \frac{32(3-3\sqrt{5})}{(3+3\sqrt{5})(3-3\sqrt{5})} = \frac{32 \cdot 3(1-\sqrt{5})}{3^2-(3\sqrt{5})^2} = \frac{96(1-\sqrt{5})}{9-9 \cdot 5} = \frac{96(1-\sqrt{5})}{9-45} = \frac{96(1-\sqrt{5})}{-36}.$

Сократим дробь на 12 (наибольший общий делитель для 96 и -36):

$\frac{8 \cdot 12(1-\sqrt{5})}{-3 \cdot 12} = \frac{8(1-\sqrt{5})}{-3} = -\frac{8(1-\sqrt{5})}{3} = \frac{8(\sqrt{5}-1)}{3}.$

Ответ: $\frac{8(\sqrt{5}-1)}{3}$.

7) Для выражения $\frac{1-b}{\sqrt{1-\sqrt{b}}}$ с условием $0 \le b < 1$ заметим, что числитель можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $1-b = (1-\sqrt{b})(1+\sqrt{b})$.

$\frac{1-b}{\sqrt{1-\sqrt{b}}} = \frac{(1-\sqrt{b})(1+\sqrt{b})}{\sqrt{1-\sqrt{b}}}.$

Так как $1-\sqrt{b} = (\sqrt{1-\sqrt{b}})^2$, подставим это в выражение:

$\frac{(\sqrt{1-\sqrt{b}})^2(1+\sqrt{b})}{\sqrt{1-\sqrt{b}}}.$

Поскольку $0 \le b < 1$, то $1-\sqrt{b} > 0$, и мы можем сократить дробь на $\sqrt{1-\sqrt{b}}$:

$(1+\sqrt{b})\sqrt{1-\sqrt{b}}.$

Ответ: $(1+\sqrt{b})\sqrt{1-\sqrt{b}}$.

8) Для выражения $\frac{1-a}{\sqrt{1}+\sqrt{a}}$ при $a \ge 0$, сначала упростим знаменатель: $\sqrt{1}+\sqrt{a} = 1+\sqrt{a}$. Получим дробь:

$\frac{1-a}{1+\sqrt{a}}.$

Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов: $1-a = (1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a})$.

$\frac{(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a})}{1+\sqrt{a}}.$

Так как $a \ge 0$, знаменатель $1+\sqrt{a} \ge 1$ и не равен нулю, поэтому мы можем сократить дробь на $(1+\sqrt{a})$:

$1-\sqrt{a}.$

Ответ: $1-\sqrt{a}$.