Номер 110, страница 51 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

110. Освободите от иррациональности знаменатель дроби:

1) $\frac{6}{\sqrt{7}-1}$;

2) $\frac{5}{\sqrt{6}+1}$;

3) $\frac{2}{x+\sqrt{a}}>;

4) $\frac{3}{x-\sqrt{a}}.$

5) $\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}};

6) $\frac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{5}};

7) $\frac{3}{\sqrt{8}-\sqrt{5}};

8) $\frac{x-\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}}.$

1) Решение. Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $ \sqrt{7}+1 $. В знаменателе используем формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $.
$ \frac{6}{\sqrt{7}-1} = \frac{6(\sqrt{7}+1)}{(\sqrt{7}-1)(\sqrt{7}+1)} = \frac{6(\sqrt{7}+1)}{(\sqrt{7})^2 - 1^2} = \frac{6(\sqrt{7}+1)}{7-1} = \frac{6(\sqrt{7}+1)}{6} = \sqrt{7}+1 $.
Ответ: $ \sqrt{7}+1 $.

2) Решение. Умножим числитель и знаменатель на выражение $ \sqrt{6}-1 $, сопряженное знаменателю:
$ \frac{5}{\sqrt{6}+1} = \frac{5(\sqrt{6}-1)}{(\sqrt{6}+1)(\sqrt{6}-1)} = \frac{5(\sqrt{6}-1)}{(\sqrt{6})^2 - 1^2} = \frac{5(\sqrt{6}-1)}{6-1} = \frac{5(\sqrt{6}-1)}{5} = \sqrt{6}-1 $.
Ответ: $ \sqrt{6}-1 $.

3) Решение. Умножим числитель и знаменатель на выражение $ x-\sqrt{a} $, сопряженное знаменателю (при условии $ x^2 \neq a, a \ge 0 $):
$ \frac{2}{x+\sqrt{a}} = \frac{2(x-\sqrt{a})}{(x+\sqrt{a})(x-\sqrt{a})} = \frac{2(x-\sqrt{a})}{x^2 - (\sqrt{a})^2} = \frac{2(x-\sqrt{a})}{x^2 - a} $.
Ответ: $ \frac{2(x-\sqrt{a})}{x^2-a} $.

4) Решение. Умножим числитель и знаменатель на выражение $ x+\sqrt{a} $, сопряженное знаменателю (при условии $ x^2 \neq a, a \ge 0 $):
$ \frac{3}{x-\sqrt{a}} = \frac{3(x+\sqrt{a})}{(x-\sqrt{a})(x+\sqrt{a})} = \frac{3(x+\sqrt{a})}{x^2 - (\sqrt{a})^2} = \frac{3(x+\sqrt{a})}{x^2 - a} $.
Ответ: $ \frac{3(x+\sqrt{a})}{x^2-a} $.

5) Решение. Умножим числитель и знаменатель на выражение $ \sqrt{6}-\sqrt{2} $, сопряженное знаменателю:
$ \frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{6-2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} $.

6) Решение. Умножим числитель и знаменатель на выражение $ \sqrt{7}+\sqrt{5} $, сопряженное знаменателю:
$ \frac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} = \frac{4(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})} = \frac{4(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{4(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{7-5} = \frac{4(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{2} = 2(\sqrt{7}+\sqrt{5}) $.
Ответ: $ 2(\sqrt{7}+\sqrt{5}) $.

7) Решение. Умножим числитель и знаменатель на выражение $ \sqrt{8}+\sqrt{5} $, сопряженное знаменателю, и упростим $ \sqrt{8}=2\sqrt{2} $:
$ \frac{3}{\sqrt{8}-\sqrt{5}} = \frac{3(\sqrt{8}+\sqrt{5})}{(\sqrt{8}-\sqrt{5})(\sqrt{8}+\sqrt{5})} = \frac{3(\sqrt{8}+\sqrt{5})}{(\sqrt{8})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{3(\sqrt{8}+\sqrt{5})}{8-5} = \frac{3(\sqrt{8}+\sqrt{5})}{3} = \sqrt{8}+\sqrt{5} = 2\sqrt{2}+\sqrt{5} $.
Ответ: $ 2\sqrt{2}+\sqrt{5} $.

8) Решение. Умножим числитель и знаменатель на выражение $ x-\sqrt{2} $, сопряженное знаменателю (при условии $ x^2 \neq 2 $). В числителе применим формулу квадрата разности $ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $:
$ \frac{x-\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}} = \frac{(x-\sqrt{2})(x-\sqrt{2})}{(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})} = \frac{(x-\sqrt{2})^2}{x^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{x^2 - 2x\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{x^2-2} = \frac{x^2-2x\sqrt{2}+2}{x^2-2} $.
Ответ: $ \frac{x^2-2x\sqrt{2}+2}{x^2-2} $.