Номер 113, страница 51 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

113. Освободите от иррациональности знаменатель дроби:

1) $\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}+4\sqrt{2}};

2) $\frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{2}-2\sqrt{3}};

3) $-\frac{7}{\sqrt{5}-2\sqrt{3}};

4) $\frac{15}{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}.$

5) $\frac{6}{2-3\sqrt{2}};

6) $\frac{32}{3+\sqrt[3]{5}};

7) $\frac{1-b}{\sqrt{1-\sqrt{b}}}, 0 \le b < 1;

8) $\frac{1-a}{\sqrt{1+\sqrt{a}}}, a \ge 0.$

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}+4\sqrt{2}}$, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $2\sqrt{3}-4\sqrt{2}$. Используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}+4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} \cdot (2\sqrt{3}-4\sqrt{2})}{(2\sqrt{3}+4\sqrt{2}) \cdot (2\sqrt{3}-4\sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{6}-4\sqrt{2}\sqrt{2}}{(2\sqrt{3})^2 - (4\sqrt{2})^2} = \frac{2\sqrt{6}-4 \cdot 2}{4 \cdot 3 - 16 \cdot 2} = \frac{2\sqrt{6}-8}{12-32} = \frac{2\sqrt{6}-8}{-20}.$

Вынесем общий множитель 2 в числителе, изменим знак дроби и сократим ее:

$\frac{-(8-2\sqrt{6})}{-20} = \frac{8-2\sqrt{6}}{20} = \frac{2(4-\sqrt{6})}{20} = \frac{4-\sqrt{6}}{10}.$

Ответ: $\frac{4-\sqrt{6}}{10}$.

2) Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{2}-2\sqrt{3}}$ на сопряженное к знаменателю выражение $4\sqrt{2}+2\sqrt{3}$.

$\frac{\sqrt{3}}{4\sqrt{2}-2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(4\sqrt{2}+2\sqrt{3})}{(4\sqrt{2}-2\sqrt{3})(4\sqrt{2}+2\sqrt{3})} = \frac{4\sqrt{6}+2(\sqrt{3})^2}{(4\sqrt{2})^2-(2\sqrt{3})^2} = \frac{4\sqrt{6}+2 \cdot 3}{16 \cdot 2 - 4 \cdot 3} = \frac{4\sqrt{6}+6}{32-12} = \frac{4\sqrt{6}+6}{20}.$

Сократим дробь на 2:

$\frac{2(2\sqrt{6}+3)}{20} = \frac{2\sqrt{6}+3}{10}.$

Ответ: $\frac{2\sqrt{6}+3}{10}$.

3) Рассмотрим дробь $\frac{7}{\sqrt{5}-2\sqrt{3}}$ и умножим ее числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{5}+2\sqrt{3}$.

$\frac{7}{\sqrt{5}-2\sqrt{3}} = \frac{7(\sqrt{5}+2\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-2\sqrt{3})(\sqrt{5}+2\sqrt{3})} = \frac{7\sqrt{5}+14\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (2\sqrt{3})^2} = \frac{7\sqrt{5}+14\sqrt{3}}{5 - 4 \cdot 3} = \frac{7\sqrt{5}+14\sqrt{3}}{5-12} = \frac{7(\sqrt{5}+2\sqrt{3})}{-7} = -(\sqrt{5}+2\sqrt{3}).$

Исходное выражение равно:

$-\frac{7}{\sqrt{5}-2\sqrt{3}} = -(-(\sqrt{5}+2\sqrt{3})) = \sqrt{5}+2\sqrt{3}.$

Ответ: $\sqrt{5}+2\sqrt{3}$.

4) Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{15}{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ на сопряженное выражение $3\sqrt{2}+\sqrt{3}$.

$\frac{15}{3\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{15(3\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(3\sqrt{2}-\sqrt{3})(3\sqrt{2}+\sqrt{3})} = \frac{15(3\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(3\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2} = \frac{15(3\sqrt{2}+\sqrt{3})}{9 \cdot 2 - 3} = \frac{15(3\sqrt{2}+\sqrt{3})}{18-3} = \frac{15(3\sqrt{2}+\sqrt{3})}{15}.$

Сократим дробь на 15:

$3\sqrt{2}+\sqrt{3}.$

Ответ: $3\sqrt{2}+\sqrt{3}$.

5) Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{6}{2-3\sqrt{2}}$ на сопряженное выражение $2+3\sqrt{2}$.

$\frac{6}{2-3\sqrt{2}} = \frac{6(2+3\sqrt{2})}{(2-3\sqrt{2})(2+3\sqrt{2})} = \frac{12+18\sqrt{2}}{2^2-(3\sqrt{2})^2} = \frac{12+18\sqrt{2}}{4-9 \cdot 2} = \frac{12+18\sqrt{2}}{4-18} = \frac{12+18\sqrt{2}}{-14}.$

Сократим дробь на 2:

$\frac{2(6+9\sqrt{2})}{-14} = \frac{6+9\sqrt{2}}{-7} = -\frac{6+9\sqrt{2}}{7}.$

Ответ: $-\frac{6+9\sqrt{2}}{7}$.

6) Умножим числитель и знаменатель дроби $\frac{32}{3+3\sqrt{5}}$ на сопряженное выражение $3-3\sqrt{5}$.

$\frac{32}{3+3\sqrt{5}} = \frac{32(3-3\sqrt{5})}{(3+3\sqrt{5})(3-3\sqrt{5})} = \frac{32 \cdot 3(1-\sqrt{5})}{3^2-(3\sqrt{5})^2} = \frac{96(1-\sqrt{5})}{9-9 \cdot 5} = \frac{96(1-\sqrt{5})}{9-45} = \frac{96(1-\sqrt{5})}{-36}.$

Сократим дробь на 12 (наибольший общий делитель для 96 и -36):

$\frac{8 \cdot 12(1-\sqrt{5})}{-3 \cdot 12} = \frac{8(1-\sqrt{5})}{-3} = -\frac{8(1-\sqrt{5})}{3} = \frac{8(\sqrt{5}-1)}{3}.$

Ответ: $\frac{8(\sqrt{5}-1)}{3}$.

7) Для выражения $\frac{1-b}{\sqrt{1-\sqrt{b}}}$ с условием $0 \le b < 1$ заметим, что числитель можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $1-b = (1-\sqrt{b})(1+\sqrt{b})$.

$\frac{1-b}{\sqrt{1-\sqrt{b}}} = \frac{(1-\sqrt{b})(1+\sqrt{b})}{\sqrt{1-\sqrt{b}}}.$

Так как $1-\sqrt{b} = (\sqrt{1-\sqrt{b}})^2$, подставим это в выражение:

$\frac{(\sqrt{1-\sqrt{b}})^2(1+\sqrt{b})}{\sqrt{1-\sqrt{b}}}.$

Поскольку $0 \le b < 1$, то $1-\sqrt{b} > 0$, и мы можем сократить дробь на $\sqrt{1-\sqrt{b}}$:

$(1+\sqrt{b})\sqrt{1-\sqrt{b}}.$

Ответ: $(1+\sqrt{b})\sqrt{1-\sqrt{b}}$.

8) Для выражения $\frac{1-a}{\sqrt{1}+\sqrt{a}}$ при $a \ge 0$, сначала упростим знаменатель: $\sqrt{1}+\sqrt{a} = 1+\sqrt{a}$. Получим дробь:

$\frac{1-a}{1+\sqrt{a}}.$

Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов: $1-a = (1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a})$.

$\frac{(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a})}{1+\sqrt{a}}.$

Так как $a \ge 0$, знаменатель $1+\sqrt{a} \ge 1$ и не равен нулю, поэтому мы можем сократить дробь на $(1+\sqrt{a})$:

$1-\sqrt{a}.$

Ответ: $1-\sqrt{a}$.