Номер 107, страница 50 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Вычислите (107–109):

107.1) $3\sqrt{8} - 5\sqrt{18} + 12\sqrt{50}$;

2) $(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt[4]{225}$;

3) $(2\sqrt{2}-3)^2 \cdot \sqrt[6]{8}$;

4) $\sqrt[3]{5-\sqrt{17}} \cdot \sqrt[3]{17+5}$.

107.1)
Решение:
Чтобы вычислить значение выражения, сначала упростим каждый из корней, вынеся множитель из-под знака корня. Для этого представим подкоренные выражения в виде произведения, где один из множителей является полным квадратом.
$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4}\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9}\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$
$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25}\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$
Теперь подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение:
$3\sqrt{8} - 5\sqrt{18} + 12\sqrt{50} = 3 \cdot (2\sqrt{2}) - 5 \cdot (3\sqrt{2}) + 12 \cdot (5\sqrt{2})$
Выполним умножение:
$6\sqrt{2} - 15\sqrt{2} + 60\sqrt{2}$
Все слагаемые содержат общий множитель $\sqrt{2}$, поэтому мы можем сложить их коэффициенты:
$(6 - 15 + 60)\sqrt{2} = (-9 + 60)\sqrt{2} = 51\sqrt{2}$
Ответ: $51\sqrt{2}$.

2) Решение:
Для вычисления значения данного выражения решим его по частям. Сначала раскроем скобки, используя формулу сокращенного умножения для квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15}$
Далее упростим второй множитель $\sqrt[4]{225}$. Заметим, что $225 = 15^2$. Используем свойство корня $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:
$\sqrt[4]{225} = \sqrt[4]{15^2} = 15^{\frac{2}{4}} = 15^{\frac{1}{2}} = \sqrt{15}$
Теперь перемножим полученные выражения:
$(8 - 2\sqrt{15}) \cdot \sqrt{15}$
Раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на $\sqrt{15}$:
$8 \cdot \sqrt{15} - 2\sqrt{15} \cdot \sqrt{15} = 8\sqrt{15} - 2 \cdot 15 = 8\sqrt{15} - 30$
Ответ: $8\sqrt{15} - 30$.

3) Решение:
Вычислим значение выражения по шагам. Сначала возведем в квадрат выражение в скобках, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(2\sqrt{2}-3)^2 = (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 3 + 3^2 = (4 \cdot 2) - 12\sqrt{2} + 9 = 8 - 12\sqrt{2} + 9 = 17 - 12\sqrt{2}$
Затем упростим второй множитель $\sqrt[6]{8}$. Представим число 8 в виде степени $2^3$ и воспользуемся свойством корня $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:
$\sqrt[6]{8} = \sqrt[6]{2^3} = 2^{\frac{3}{6}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$
Теперь перемножим полученные результаты:
$(17 - 12\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}$
Раскроем скобки:
$17 \cdot \sqrt{2} - 12\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 17\sqrt{2} - 12 \cdot 2 = 17\sqrt{2} - 24$
Ответ: $17\sqrt{2} - 24$.

4) Решение:
Для вычисления произведения воспользуемся свойством корней одинаковой степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.
$\sqrt[3]{5-\sqrt{17}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{17}+5} = \sqrt[3]{(5-\sqrt{17})(5+\sqrt{17})}$
Выражение под знаком кубического корня представляет собой произведение разности и суммы двух чисел. Применим формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. В данном случае $a=5$ и $b=\sqrt{17}$.
$(5-\sqrt{17})(5+\sqrt{17}) = 5^2 - (\sqrt{17})^2 = 25 - 17 = 8$
Подставим полученное значение обратно под знак корня:
$\sqrt[3]{8}$
Кубический корень из 8 равен 2, так как $2^3 = 8$.
$\sqrt[3]{8} = 2$
Ответ: $2$.