Номер 104, страница 48 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

104. 1) $(\frac{1}{13^{\frac{1}{2}} - 17^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{17^{\frac{1}{2}} + 13^{\frac{1}{2}}}) \cdot 13^{\frac{1}{2}}$;

2) $(\frac{5}{6^2 + 11} + \frac{5}{6^2 - 11}) \cdot 0,1 \cdot 6^{\frac{1}{2}}$;

3) $(8 - 28^{\frac{1}{2}})^{-1} + (8 + 28^{\frac{1}{2}})^{-1}$;

4) $(6 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2}})^{-1} + (6 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2}})^{-1}$.

1)

Решение:

Запишем выражение, используя знаки корня: $\left(\frac{1}{\sqrt{13} - \sqrt{17}} + \frac{1}{\sqrt{17} + \sqrt{13}}\right) \cdot \sqrt{13}$.

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $(\sqrt{13} - \sqrt{17})(\sqrt{17} + \sqrt{13})$. Заметим, что $\sqrt{17} + \sqrt{13} = \sqrt{13} + \sqrt{17}$.

Тогда знаменатель равен $(\sqrt{13} - \sqrt{17})(\sqrt{13} + \sqrt{17})$. Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(\sqrt{13})^2 - (\sqrt{17})^2 = 13 - 17 = -4$.

Теперь найдем числитель:

$1 \cdot (\sqrt{17} + \sqrt{13}) + 1 \cdot (\sqrt{13} - \sqrt{17}) = \sqrt{17} + \sqrt{13} + \sqrt{13} - \sqrt{17} = 2\sqrt{13}$.

Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{2\sqrt{13}}{-4} = -\frac{\sqrt{13}}{2}$.

Теперь умножим результат на $\sqrt{13}$:

$-\frac{\sqrt{13}}{2} \cdot \sqrt{13} = -\frac{(\sqrt{13})^2}{2} = -\frac{13}{2} = -6.5$.

Ответ: $-6.5$.

2)

Решение:

Вычислим значения в знаменателях дробей в скобках:

$6^2 + 11 = 36 + 11 = 47$.

$6^2 - 11 = 36 - 11 = 25$.

Теперь выражение выглядит так: $\left(\frac{5}{47} + \frac{5}{25}\right) \cdot 0.1 \cdot 6^{\frac{1}{2}}$.

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $47 \cdot 25 = 1175$:

$\frac{5 \cdot 25}{47 \cdot 25} + \frac{5 \cdot 47}{25 \cdot 47} = \frac{125}{1175} + \frac{235}{1175} = \frac{125 + 235}{1175} = \frac{360}{1175}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$\frac{360 \div 5}{1175 \div 5} = \frac{72}{235}$.

Теперь умножим результат на оставшуюся часть выражения $0.1 \cdot 6^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{10}\sqrt{6}$:

$\frac{72}{235} \cdot \frac{\sqrt{6}}{10} = \frac{72\sqrt{6}}{2350}$.

Сократим дробь на 2:

$\frac{36\sqrt{6}}{1175}$.

Ответ: $\frac{36\sqrt{6}}{1175}$.

3)

Решение:

Степень $-1$ означает обратное число, поэтому выражение можно переписать в виде дробей:

$(8 - 28^{\frac{1}{2}})^{-1} + (8 + 28^{\frac{1}{2}})^{-1} = \frac{1}{8 - \sqrt{28}} + \frac{1}{8 + \sqrt{28}}$.

Приведем дроби к общему знаменателю, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(8 - \sqrt{28})(8 + \sqrt{28}) = 8^2 - (\sqrt{28})^2 = 64 - 28 = 36$.

Найдем числитель:

$1 \cdot (8 + \sqrt{28}) + 1 \cdot (8 - \sqrt{28}) = 8 + \sqrt{28} + 8 - \sqrt{28} = 16$.

Результат равен $\frac{16}{36}$. Сократим дробь на 4:

$\frac{16 \div 4}{36 \div 4} = \frac{4}{9}$.

Ответ: $\frac{4}{9}$.

4)

Решение:

Перепишем выражение, используя дроби и знак корня:

$(6 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2}})^{-1} + (6 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2}})^{-1} = \frac{1}{6 + 4\sqrt{2}} + \frac{1}{6 - 4\sqrt{2}}$.

Приведем дроби к общему знаменателю, используя формулу разности квадратов:

$(6 + 4\sqrt{2})(6 - 4\sqrt{2}) = 6^2 - (4\sqrt{2})^2 = 36 - (16 \cdot 2) = 36 - 32 = 4$.

Найдем числитель:

$1 \cdot (6 - 4\sqrt{2}) + 1 \cdot (6 + 4\sqrt{2}) = 6 - 4\sqrt{2} + 6 + 4\sqrt{2} = 12$.

Результат равен $\frac{12}{4} = 3$.

Ответ: $3$.