Номер 99, страница 47 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

99. Напишите корни в виде степеней с рациональными показателями:

1) $\frac{1}{8} \sqrt[7]{2^{15} \cdot ax^5}$;

2) $\sqrt[3]{a^7 \sqrt[4]{a}}>;

3) $\sqrt[9]{b^8} \cdot \sqrt[3]{b};

4) $\frac{1}{3} \sqrt[3]{27 \cdot \sqrt[3]{x}}.

1)

Для преобразования выражения $\frac{1}{8} \sqrt[7]{2^{15} \cdot ax^5}$ в степень с рациональным показателем, воспользуемся следующими свойствами степеней и корней: $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$, $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $(abc)^n = a^n b^n c^n$.

$\frac{1}{8} \sqrt[7]{2^{15} \cdot ax^5} = \frac{1}{2^3} \cdot (2^{15} a^1 x^5)^{\frac{1}{7}} = 2^{-3} \cdot (2^{15})^{\frac{1}{7}} \cdot a^{\frac{1}{7}} \cdot (x^5)^{\frac{1}{7}} = 2^{-3} \cdot 2^{\frac{15}{7}} \cdot a^{\frac{1}{7}} \cdot x^{\frac{5}{7}}$

Объединим степени с основанием 2, сложив их показатели:

$2^{-3+\frac{15}{7}} a^{\frac{1}{7}} x^{\frac{5}{7}} = 2^{\frac{-21}{7}+\frac{15}{7}} a^{\frac{1}{7}} x^{\frac{5}{7}} = 2^{-\frac{6}{7}} a^{\frac{1}{7}} x^{\frac{5}{7}}$

Ответ: $2^{-\frac{6}{7}} a^{\frac{1}{7}} x^{\frac{5}{7}}$.

2)

Для преобразования вложенных корней будем двигаться изнутри наружу. Сначала преобразуем внутренний корень $\sqrt[4]{a}$ в степень, а затем выполним остальные операции.

$\sqrt[3]{a^7 \sqrt[4]{a}} = \sqrt[3]{a^7 \cdot a^{\frac{1}{4}}}$

Сложим показатели степеней под кубическим корнем:

$\sqrt[3]{a^{7+\frac{1}{4}}} = \sqrt[3]{a^{\frac{28}{4}+\frac{1}{4}}} = \sqrt[3]{a^{\frac{29}{4}}}$

Теперь преобразуем кубический корень в степень:

$(a^{\frac{29}{4}})^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{29}{4} \cdot \frac{1}{3}} = a^{\frac{29}{12}}$

Ответ: $a^{\frac{29}{12}}$.

3)

Как и в предыдущем примере, преобразуем выражение с вложенными корнями, начиная с внутреннего корня $\sqrt[3]{b}$.

$\sqrt[9]{b^8 \cdot \sqrt[3]{b}} = \sqrt[9]{b^8 \cdot b^{\frac{1}{3}}}$

Сложим показатели степеней под корнем девятой степени:

$\sqrt[9]{b^{8+\frac{1}{3}}} = \sqrt[9]{b^{\frac{24}{3}+\frac{1}{3}}} = \sqrt[9]{b^{\frac{25}{3}}}$

Преобразуем корень девятой степени в степень:

$(b^{\frac{25}{3}})^{\frac{1}{9}} = b^{\frac{25}{3} \cdot \frac{1}{9}} = b^{\frac{25}{27}}$

Ответ: $b^{\frac{25}{27}}$.

4)

В этом выражении сначала упростим числовые коэффициенты, а затем преобразуем вложенные корни.

$\frac{1}{3} \sqrt[3]{27 \cdot \sqrt[3]{x}} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x}}$

Так как $\sqrt[3]{27} = 3$, выражение упрощается:

$\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x}} = 1 \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x}} = \sqrt[3]{x^{\frac{1}{3}}}$

Преобразуем оставшийся корень в степень:

$(x^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{9}}$

Ответ: $x^{\frac{1}{9}}$.