Номер 94, страница 46 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Разложите выражения на множители (94-95):

94. 1) $(bx)^\frac{1}{3} + (by)^\frac{1}{3};$

2) $b - b^\frac{1}{2};$

3) $3 + 3^\frac{1}{3};$

4) $(5x)^\frac{1}{2} + (3x)^\frac{1}{2}.$

1) $(bx)^{\frac{1}{3}} + (by)^{\frac{1}{3}}$

Решение:

Чтобы разложить данное выражение на множители, воспользуемся свойством степени произведения: $(ab)^n = a^n b^n$. Применим это свойство к каждому слагаемому:

$(bx)^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{3}}$

$(by)^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}$

Теперь исходное выражение можно переписать в следующем виде:

$b^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}$

Мы видим, что оба слагаемых имеют общий множитель $b^{\frac{1}{3}}$. Вынесем его за скобки:

$b^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})$

Ответ: $b^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})$.

2) $b - b^{\frac{1}{2}}$

Решение:

Для разложения на множители представим первый член выражения, $b$, как степень с основанием $b^{\frac{1}{2}}$. Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$b = b^1 = (b^{\frac{1}{2}})^2$

Подставим это в исходное выражение:

$(b^{\frac{1}{2}})^2 - b^{\frac{1}{2}}$

Теперь у нас есть общий множитель $b^{\frac{1}{2}}$, который можно вынести за скобки:

$b^{\frac{1}{2}}(b^{\frac{1}{2}} - 1)$

Ответ: $b^{\frac{1}{2}}(b^{\frac{1}{2}} - 1)$.

3) $3 + 3^{\frac{1}{3}}$

Решение:

Аналогично предыдущему примеру, представим целое число 3 в виде степени с основанием $3^{\frac{1}{3}}$:

$3 = 3^1 = (3^{\frac{1}{3}})^3$

Подставим это представление в исходное выражение:

$(3^{\frac{1}{3}})^3 + 3^{\frac{1}{3}}$

Общим множителем является $3^{\frac{1}{3}}$. Вынесем его за скобки:

$3^{\frac{1}{3}}((3^{\frac{1}{3}})^2 + 1)$

Упростим выражение в скобках, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$3^{\frac{1}{3}}(3^{\frac{2}{3}} + 1)$

Ответ: $3^{\frac{1}{3}}(3^{\frac{2}{3}} + 1)$.

4) $(5x)^{\frac{1}{2}} + (3x)^{\frac{1}{2}}$

Решение:

Как и в первом примере, воспользуемся свойством степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$ для каждого слагаемого:

$(5x)^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}$

$(3x)^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}$

После преобразования исходное выражение выглядит так:

$5^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}} + 3^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}$

Общий множитель здесь – это $x^{\frac{1}{2}}$. Вынесем его за скобки:

$x^{\frac{1}{2}}(5^{\frac{1}{2}} + 3^{\frac{1}{2}})$

Ответ: $x^{\frac{1}{2}}(5^{\frac{1}{2}} + 3^{\frac{1}{2}})$.