Страница 46 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

90. Напишите выражение в виде корня:

1) $3^{1,8}$

2) $2^{1,6}$

3) $6^{-1,5}$

4) $7^{1,2}$

Для преобразования выражения со степенью, показатель которой является десятичной дробью, в выражение с корнем, необходимо сначала представить десятичную дробь в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$. Затем используется определение степени с рациональным показателем: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $a > 0$. Если показатель степени отрицательный, сначала применяется свойство $a^{-p} = \frac{1}{a^p}$.

1) $3^{1,8}$
Представим показатель степени $1,8$ в виде обыкновенной дроби: $1,8 = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$.
Используя формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, получаем:
$3^{1,8} = 3^{\frac{9}{5}} = \sqrt[5]{3^9}$.
Данное выражение можно также упростить, вынеся множитель из-под знака корня:
$\sqrt[5]{3^9} = \sqrt[5]{3^5 \cdot 3^4} = 3\sqrt[5]{3^4} = 3\sqrt[5]{81}$.
Ответ: $\sqrt[5]{3^9}$.

2) $2^{1,6}$
Представим показатель степени $1,6$ в виде обыкновенной дроби: $1,6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$.
Используя формулу, получаем:
$2^{1,6} = 2^{\frac{8}{5}} = \sqrt[5]{2^8}$.
Упростим выражение:
$\sqrt[5]{2^8} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 2^3} = 2\sqrt[5]{2^3} = 2\sqrt[5]{8}$.
Ответ: $\sqrt[5]{2^8}$.

3) $6^{-1,5}$
Сначала преобразуем отрицательную степень: $6^{-1,5} = \frac{1}{6^{1,5}}$.
Представим показатель степени $1,5$ в виде обыкновенной дроби: $1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.
Преобразуем знаменатель в корень:
$6^{1,5} = 6^{\frac{3}{2}} = \sqrt{6^3}$.
Следовательно, исходное выражение равно: $6^{-1,5} = \frac{1}{\sqrt{6^3}}$.
Упростим корень в знаменателе:
$\sqrt{6^3} = \sqrt{6^2 \cdot 6} = 6\sqrt{6}$.
Тогда $6^{-1,5} = \frac{1}{6\sqrt{6}}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{6^3}}$.

4) $7^{1,2}$
Представим показатель степени $1,2$ в виде обыкновенной дроби: $1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.
Используя формулу, получаем:
$7^{1,2} = 7^{\frac{6}{5}} = \sqrt[5]{7^6}$.
Упростим выражение:
$\sqrt[5]{7^6} = \sqrt[5]{7^5 \cdot 7^1} = 7\sqrt[5]{7}$.
Ответ: $\sqrt[5]{7^6}$.

91. Напишите корни в виде степени с рациональным показателем:

1) $\sqrt[3]{x^{-2}}$;

2) $\sqrt[7]{3y}$;

3) $\sqrt[15]{x^{-8}}$;

4) $\sqrt[8]{5^3}$.

Для преобразования корня в степень с рациональным показателем используется основное свойство корня, которое можно записать в виде формулы:

$\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$

где $n$ – это показатель корня, а $m$ – это показатель степени подкоренного выражения.

1) $\sqrt[3]{x^{-2}}$

В данном выражении показатель корня $n=3$, а показатель степени подкоренного выражения $m=-2$. Применяя формулу, получаем:

$\sqrt[3]{x^{-2}} = x^{\frac{-2}{3}} = x^{-\frac{2}{3}}$

Ответ: $x^{-\frac{2}{3}}$

2) $\sqrt[7]{3y}$

Подкоренное выражение $3y$ можно представить в виде степени, как $(3y)^1$. В этом случае показатель корня $n=7$, а показатель степени подкоренного выражения $m=1$. Применяя формулу, получаем:

$\sqrt[7]{3y} = \sqrt[7]{(3y)^1} = (3y)^{\frac{1}{7}}$

Ответ: $(3y)^{\frac{1}{7}}$

3) $\sqrt[15]{x^{-8}}$

Здесь показатель корня $n=15$, а показатель степени подкоренного выражения $m=-8$. Применяя формулу, получаем:

$\sqrt[15]{x^{-8}} = x^{\frac{-8}{15}} = x^{-\frac{8}{15}}$

Ответ: $x^{-\frac{8}{15}}$

4) $\sqrt[8]{5^3}$

В этом выражении показатель корня $n=8$, а показатель степени подкоренного выражения $m=3$. Применяя формулу, получаем:

$\sqrt[8]{5^3} = 5^{\frac{3}{8}}$

Ответ: $5^{\frac{3}{8}}$

Найдите значения выражений (92–93):

92. 1) $81^{0.5}$;

2) $\left(\frac{256}{3^8}\right)^{\frac{1}{8}}$;

3) $16^{\frac{7}{4}}$;

4) $\left(\frac{27^3}{125^6}\right)^{\frac{2}{9}}$.

1)

Для вычисления значения выражения $81^{0.5}$ представим десятичную степень в виде обыкновенной дроби: $0.5 = \frac{1}{2}$.

Возведение в степень $\frac{1}{2}$ является операцией, эквивалентной извлечению квадратного корня.

Следовательно, выражение можно записать так:

$81^{0.5} = 81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9$, поскольку $9 \cdot 9 = 81$.

Ответ: 9.

2)

Для вычисления значения выражения $(\frac{256}{3^8})^{\frac{1}{8}}$ применим свойство степени для дроби $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:

$(\frac{256}{3^8})^{\frac{1}{8}} = \frac{256^{\frac{1}{8}}}{(3^8)^{\frac{1}{8}}}$

Теперь вычислим числитель и знаменатель по отдельности. Для числителя представим число 256 как степень двойки: $256 = 2^8$.

$256^{\frac{1}{8}} = (2^8)^{\frac{1}{8}}$

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:

В числителе: $(2^8)^{\frac{1}{8}} = 2^{8 \cdot \frac{1}{8}} = 2^1 = 2$.

В знаменателе: $(3^8)^{\frac{1}{8}} = 3^{8 \cdot \frac{1}{8}} = 3^1 = 3$.

В результате получаем дробь:

$\frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$.

3)

Для вычисления значения выражения $16^{\frac{7}{4}}$ воспользуемся свойством степени с рациональным показателем $a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m = (\sqrt[n]{a})^m$.

$16^{\frac{7}{4}} = (16^{\frac{1}{4}})^7 = (\sqrt[4]{16})^7$.

Находим корень четвертой степени из 16. Число, которое при возведении в четвертую степень дает 16, это 2, так как $2^4 = 16$.

$\sqrt[4]{16} = 2$.

Подставляем найденное значение обратно в выражение:

$(\sqrt[4]{16})^7 = 2^7 = 128$.

Ответ: 128.

4)

Для вычисления значения выражения $(\frac{27^3}{125^6})^{\frac{2}{9}}$ сначала представим основания степеней 27 и 125 в виде степеней простых чисел:

$27 = 3^3$

$125 = 5^3$

Подставим эти представления в исходное выражение:

$(\frac{(3^3)^3}{(5^3)^6})^{\frac{2}{9}}$

Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$ для выражений в числителе и знаменателе внутри скобок:

$(\frac{3^{3 \cdot 3}}{5^{3 \cdot 6}})^{\frac{2}{9}} = (\frac{3^9}{5^{18}})^{\frac{2}{9}}$

Теперь применим свойство степени для дроби $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ и снова свойство возведения степени в степень:

$\frac{(3^9)^{\frac{2}{9}}}{(5^{18})^{\frac{2}{9}}} = \frac{3^{9 \cdot \frac{2}{9}}}{5^{18 \cdot \frac{2}{9}}} = \frac{3^2}{5^4}$

Осталось вычислить полученные степени:

$3^2 = 9$

$5^4 = 625$

Таким образом, итоговое значение выражения равно $\frac{9}{625}$.

Ответ: $\frac{9}{625}$.

93. 1) $\left(8^{\frac{1}{6}} \cdot 9^{\frac{3}{2}}\right): 8^{\frac{1}{2}};$

2) $\sqrt[3]{100} \cdot \left(\sqrt{2}\right)^{\frac{8}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}};$

3) $81^{0,75} : 8^{\frac{7}{3}};$

4) $\left(\frac{36}{25}\right)^{0,5} \cdot \left(\frac{125}{27}\right)^{-\frac{1}{3}}.$

1)

Решение. Сначала сгруппируем степени с одинаковым основанием, используя свойство $a^m : a^n = a^{m-n}$: $(8^{\frac{1}{6}} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) : 8^{\frac{1}{2}} = (8^{\frac{1}{6}} : 8^{\frac{1}{2}}) \cdot 9^{\frac{3}{2}} = 8^{\frac{1}{6} - \frac{1}{2}} \cdot 9^{\frac{3}{2}} = 8^{-\frac{1}{3}} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$. Далее вычислим значение каждого множителя, представив основания в виде степеней простых чисел ($8=2^3$, $9=3^2$): $8^{-\frac{1}{3}} = (2^3)^{-\frac{1}{3}} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$ и $9^{\frac{3}{2}} = (3^2)^{\frac{3}{2}} = 3^3 = 27$. В результате получаем произведение $\frac{1}{2} \cdot 27 = \frac{27}{2} = 13,5$.

Ответ: $13,5$.

2)

Решение. Перейдём от корней к степеням и представим основания в виде степеней простых чисел: $\sqrt[3]{100} = 100^{\frac{1}{3}} = (10^2)^{\frac{1}{3}} = (2^2 \cdot 5^2)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3}}$, а $(\sqrt{2})^{\frac{8}{3}} = (2^{\frac{1}{2}})^{\frac{8}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}$. Исходное выражение принимает вид: $(2^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3}}) \cdot 2^{\frac{4}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}$. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и сложим их показатели, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $(2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{4}{3}}) \cdot (5^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}}) = 2^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = 2^{\frac{6}{3}} \cdot 5^{\frac{3}{3}} = 2^2 \cdot 5^1 = 4 \cdot 5 = 20$.

Ответ: $20$.

3)

Решение. Сначала представим десятичный показатель $0,75$ в виде обыкновенной дроби $\frac{3}{4}$. Затем вычислим значение каждого члена выражения, представив основания в виде степеней простых чисел ($81 = 3^4$, $8=2^3$). Делимое: $81^{0,75} = 81^{\frac{3}{4}} = (3^4)^{\frac{3}{4}} = 3^3 = 27$. Делитель: $8^{\frac{7}{3}} = (2^3)^{\frac{7}{3}} = 2^7 = 128$. Выполним деление: $27 : 128 = \frac{27}{128}$.

Ответ: $\frac{27}{128}$.

4)

Решение. Преобразуем каждый множитель по отдельности. Для первого множителя представим $0,5$ как $\frac{1}{2}$ и применим свойство степени дроби: $(\frac{36}{25})^{0,5} = (\frac{36}{25})^{\frac{1}{2}} = \frac{36^{\frac{1}{2}}}{25^{\frac{1}{2}}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{25}} = \frac{6}{5}$. Для второго множителя используем свойство отрицательной степени, которое "переворачивает" дробь: $(\frac{125}{27})^{-\frac{1}{3}} = (\frac{27}{125})^{\frac{1}{3}} = \frac{27^{\frac{1}{3}}}{125^{\frac{1}{3}}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{3}{5}$. Наконец, перемножим полученные результаты: $\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{18}{25}$.

Ответ: $\frac{18}{25}$.

Разложите выражения на множители (94-95):

94. 1) $(bx)^\frac{1}{3} + (by)^\frac{1}{3};$

2) $b - b^\frac{1}{2};$

3) $3 + 3^\frac{1}{3};$

4) $(5x)^\frac{1}{2} + (3x)^\frac{1}{2}.$

1) $(bx)^{\frac{1}{3}} + (by)^{\frac{1}{3}}$

Решение:

Чтобы разложить данное выражение на множители, воспользуемся свойством степени произведения: $(ab)^n = a^n b^n$. Применим это свойство к каждому слагаемому:

$(bx)^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{3}}$

$(by)^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}$

Теперь исходное выражение можно переписать в следующем виде:

$b^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}$

Мы видим, что оба слагаемых имеют общий множитель $b^{\frac{1}{3}}$. Вынесем его за скобки:

$b^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})$

Ответ: $b^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})$.

2) $b - b^{\frac{1}{2}}$

Решение:

Для разложения на множители представим первый член выражения, $b$, как степень с основанием $b^{\frac{1}{2}}$. Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$b = b^1 = (b^{\frac{1}{2}})^2$

Подставим это в исходное выражение:

$(b^{\frac{1}{2}})^2 - b^{\frac{1}{2}}$

Теперь у нас есть общий множитель $b^{\frac{1}{2}}$, который можно вынести за скобки:

$b^{\frac{1}{2}}(b^{\frac{1}{2}} - 1)$

Ответ: $b^{\frac{1}{2}}(b^{\frac{1}{2}} - 1)$.

3) $3 + 3^{\frac{1}{3}}$

Решение:

Аналогично предыдущему примеру, представим целое число 3 в виде степени с основанием $3^{\frac{1}{3}}$:

$3 = 3^1 = (3^{\frac{1}{3}})^3$

Подставим это представление в исходное выражение:

$(3^{\frac{1}{3}})^3 + 3^{\frac{1}{3}}$

Общим множителем является $3^{\frac{1}{3}}$. Вынесем его за скобки:

$3^{\frac{1}{3}}((3^{\frac{1}{3}})^2 + 1)$

Упростим выражение в скобках, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$3^{\frac{1}{3}}(3^{\frac{2}{3}} + 1)$

Ответ: $3^{\frac{1}{3}}(3^{\frac{2}{3}} + 1)$.

4) $(5x)^{\frac{1}{2}} + (3x)^{\frac{1}{2}}$

Решение:

Как и в первом примере, воспользуемся свойством степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$ для каждого слагаемого:

$(5x)^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}$

$(3x)^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}$

После преобразования исходное выражение выглядит так:

$5^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}} + 3^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}$

Общий множитель здесь – это $x^{\frac{1}{2}}$. Вынесем его за скобки:

$x^{\frac{1}{2}}(5^{\frac{1}{2}} + 3^{\frac{1}{2}})$

Ответ: $x^{\frac{1}{2}}(5^{\frac{1}{2}} + 3^{\frac{1}{2}})$.

95.

1) $a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}} + 1;$

2) $c^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{4}};$

3) $5 - 5^{\frac{2}{3}};$

4) $x + y^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}.$

1)

Дано:

Выражение $a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}} + 1$.

Найти:

Разложить данное выражение на множители.

Решение:

Для разложения на множители применим метод группировки. Сгруппируем первый и второй члены, а также третий и четвертый:

$(a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}}) + (-b^{\frac{1}{3}} + 1)$.

Вынесем общий множитель из каждой группы. Из первой группы выносим $a^{\frac{1}{3}}$, из второй -1, чтобы получить одинаковое выражение в скобках:

$a^{\frac{1}{3}}(b^{\frac{1}{3}} - 1) - 1(b^{\frac{1}{3}} - 1)$.

Теперь вынесем общий множитель $(b^{\frac{1}{3}} - 1)$ за скобки:

$(a^{\frac{1}{3}} - 1)(b^{\frac{1}{3}} - 1)$.

Ответ: $(a^{\frac{1}{3}} - 1)(b^{\frac{1}{3}} - 1)$.

2)

Дано:

Выражение $c^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{4}}$.

Найти:

Разложить данное выражение на множители.

Решение:

Для разложения на множители найдем общий множитель. Представим $c^{\frac{1}{2}}$ как степень с основанием $c^{\frac{1}{4}}$. Так как $(c^m)^n = c^{mn}$, то $c^{\frac{1}{2}} = (c^{\frac{1}{4}})^2$.

Выражение примет вид: $(c^{\frac{1}{4}})^2 + c^{\frac{1}{4}}$.

Вынесем общий множитель $c^{\frac{1}{4}}$ за скобки:

$c^{\frac{1}{4}}(c^{\frac{1}{4}} + 1)$.

Ответ: $c^{\frac{1}{4}}(c^{\frac{1}{4}} + 1)$.

3)

Дано:

Выражение $5 - 5^{\frac{2}{3}}$.

Найти:

Разложить данное выражение на множители.

Решение:

Представим число 5 как $5^1$. Выражение примет вид: $5^1 - 5^{\frac{2}{3}}$.

Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем, то есть $5^{\frac{2}{3}}$. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m / a^n = a^{m-n}$).

$5^{\frac{2}{3}}(5^{1 - \frac{2}{3}} - 5^{\frac{2}{3} - \frac{2}{3}}) = 5^{\frac{2}{3}}(5^{\frac{1}{3}} - 5^0)$.

Так как любое число в нулевой степени равно 1 (при условии, что число не ноль), то $5^0=1$. Получаем:

$5^{\frac{2}{3}}(5^{\frac{1}{3}} - 1)$.

Ответ: $5^{\frac{2}{3}}(5^{\frac{1}{3}} - 1)$.

4)

Дано:

Выражение $x + y^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$.

Найти:

Разложить данное выражение на множители.

Решение:

Применим метод группировки. Перегруппируем члены выражения для удобства:

$(x + x^{\frac{1}{2}}) + (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})$.

Представим $x$ как $(x^{\frac{1}{2}})^2$. Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы выносим $x^{\frac{1}{2}}$, из второй $y^{\frac{1}{2}}$:

$x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} + 1) + y^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} + 1)$.

Теперь в выражении есть общий множитель $(x^{\frac{1}{2}} + 1)$, который мы выносим за скобки:

$(x^{\frac{1}{2}} + 1)(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})$.

Ответ: $(x^{\frac{1}{2}} + 1)(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})$.

Сократите дробь (96–97):

96. 1) $ \frac{x - y}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}} $;

2) $ \frac{x - 8}{x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}} + 4} $;

3) $ \frac{x - 16}{x^{\frac{1}{2}} - 4} $;

4) $ \frac{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}{a + b} $.

96. 1)

Решение:
Исходная дробь: $ \frac{x - y}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}} $.
Чтобы сократить дробь, разложим числитель на множители. Представим $x$ и $y$ как квадраты выражений $x^{\frac{1}{2}}$ и $y^{\frac{1}{2}}$ соответственно:
$x = (x^{\frac{1}{2}})^2$ и $y = (y^{\frac{1}{2}})^2$.
Тогда числитель примет вид разности квадратов: $x - y = (x^{\frac{1}{2}})^2 - (y^{\frac{1}{2}})^2$.
Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$(x^{\frac{1}{2}})^2 - (y^{\frac{1}{2}})^2 = (x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})$.
Подставим полученное выражение в исходную дробь:
$ \frac{(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}} $.
Сокращаем общий множитель $(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}})$ в числителе и знаменателе:
$x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$.
Ответ: $x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$.

2)

Решение:
Исходная дробь: $ \frac{x - 8}{x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}} + 4} $.
Для сокращения дроби разложим числитель на множители. Представим $x$ и $8$ как кубы выражений $x^{\frac{1}{3}}$ и $2$ соответственно:
$x = (x^{\frac{1}{3}})^3$ и $8 = 2^3$.
Тогда числитель примет вид разности кубов: $x - 8 = (x^{\frac{1}{3}})^3 - 2^3$.
Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:
$(x^{\frac{1}{3}})^3 - 2^3 = (x^{\frac{1}{3}} - 2)((x^{\frac{1}{3}})^2 + x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + 2^2) = (x^{\frac{1}{3}} - 2)(x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}} + 4)$.
Подставим полученное выражение в исходную дробь:
$ \frac{(x^{\frac{1}{3}} - 2)(x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}} + 4)}{x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}} + 4} $.
Сокращаем общий множитель $(x^{\frac{2}{3}} + 2x^{\frac{1}{3}} + 4)$ в числителе и знаменателе:
$x^{\frac{1}{3}} - 2$.
Ответ: $x^{\frac{1}{3}} - 2$.

3)

Решение:
Исходная дробь: $ \frac{x - 16}{x^{\frac{1}{2}} - 4} $.
Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов. Представим $x$ и $16$ как квадраты выражений $x^{\frac{1}{2}}$ и $4$ соответственно:
$x = (x^{\frac{1}{2}})^2$ и $16 = 4^2$.
Тогда числитель примет вид: $x - 16 = (x^{\frac{1}{2}})^2 - 4^2$.
Применяем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$(x^{\frac{1}{2}})^2 - 4^2 = (x^{\frac{1}{2}} - 4)(x^{\frac{1}{2}} + 4)$.
Подставим полученное выражение в исходную дробь:
$ \frac{(x^{\frac{1}{2}} - 4)(x^{\frac{1}{2}} + 4)}{x^{\frac{1}{2}} - 4} $.
Сокращаем общий множитель $(x^{\frac{1}{2}} - 4)$ в числителе и знаменателе:
$x^{\frac{1}{2}} + 4$.
Ответ: $x^{\frac{1}{2}} + 4$.

4)

Решение:
Исходная дробь: $ \frac{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}{a + b} $.
Чтобы сократить дробь, разложим на множители знаменатель. Представим $a$ и $b$ как кубы выражений $a^{\frac{1}{3}}$ и $b^{\frac{1}{3}}$ соответственно:
$a = (a^{\frac{1}{3}})^3$ и $b = (b^{\frac{1}{3}})^3$.
Тогда знаменатель примет вид суммы кубов: $a + b = (a^{\frac{1}{3}})^3 + (b^{\frac{1}{3}})^3$.
Используем формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$:
$(a^{\frac{1}{3}})^3 + (b^{\frac{1}{3}})^3 = (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})((a^{\frac{1}{3}})^2 - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + (b^{\frac{1}{3}})^2) = (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$.
Подставим полученное выражение в исходную дробь:
$ \frac{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}{(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})} $.
Сокращаем общий множитель $(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$ в числителе и знаменателе:
$ \frac{1}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} $.
Ответ: $ \frac{1}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} $.