Страница 45 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

1. Укажите область определения степени с рациональным показателем. Ответ обоснуйте.

2. Верно ли утверждение: если основанием степени с рациональным показателем является целое число, то значение данной степени образует множество целых чисел? Ответ обоснуйте.

3. При каких значениях а верно равенство $a^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{a^3}$ ?

1. Укажите область определения степени с рациональным показателем. Ответ обоснуйте.

Областью определения степени $a^r$ с рациональным показателем $r$ является множество всех положительных чисел, то есть $a > 0$. В случае, если показатель $r$ является положительным числом ($r > 0$), то область определения расширяется и включает $a=0$, то есть $a \ge 0$.

Обоснование: Степень с рациональным показателем $r = \frac{m}{n}$ (где $m \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}$, $n \ge 2$) по определению равна $\sqrt[n]{a^m}$. Запись рационального числа в виде дроби неоднозначна, например, $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6}$. Если бы мы разрешили использовать отрицательные основания, это привело бы к противоречиям. Например, для $a = -27$: $(-27)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-27} = -3$. Но в то же время, используя другую запись того же показателя, $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$, мы получили бы: $(-27)^{\frac{2}{6}} = \sqrt[6]{(-27)^2} = \sqrt[6]{729} = 3$. Так как $-3 \ne 3$, возникает неопределенность. Чтобы избежать подобных ситуаций и сохранить справедливость свойств степеней (например, $(a^p)^q = a^{pq}$), область определения основания $a$ ограничивают множеством положительных чисел ($a > 0$). Случай $a = 0$ рассматривают отдельно: $0^r=0$ при $r>0$, и выражение не определено при $r \le 0$.

Ответ: Для степени $a^r$ с рациональным показателем $r$ основание $a$ должно быть положительным ($a > 0$). Если $r > 0$, то основание может быть неотрицательным ($a \ge 0$).

2. Верно ли утверждение: если основанием степени с рациональным показателем является целое число, то значение данной степени образует множество целых чисел? Ответ обоснуйте.

Нет, данное утверждение неверно.

Обоснование: Для опровержения утверждения достаточно привести один контрпример. Возьмем степень, у которой основание — целое число, например $a = 2$, а показатель — рациональное число, например $r = \frac{1}{2}$. Тогда значение степени будет $a^r = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$. Число $\sqrt{2}$ является иррациональным и не принадлежит множеству целых чисел. Следовательно, утверждение о том, что значение степени с целым основанием и рациональным показателем всегда является целым числом, ложно.

Ответ: Утверждение неверно.

3. При каких значениях a верно равенство $a^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{a^3}$ ?

Дано:

Равенство $a^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{a^3}$.

Найти:

Все значения $a$, при которых данное равенство является верным.

Решение:

Рассмотрим область допустимых значений (ОДЗ) для левой и правой частей равенства.

1. Левая часть равенства: $a^{\frac{3}{5}}$. Это степень с рациональным показателем $r = \frac{3}{5}$. Согласно определению, степень с рациональным показателем определена для положительных оснований $a > 0$. Так как показатель $r = \frac{3}{5} > 0$, то область определения расширяется, включая $a=0$. Таким образом, ОДЗ для левой части: $a \ge 0$.

2. Правая часть равенства: $\sqrt[5]{a^3}$. Это корень нечетной степени (пятой). Арифметический корень нечетной степени определен для любого действительного подкоренного выражения. Выражение $a^3$ также определено для любого действительного $a$. Следовательно, ОДЗ для правой части: $a \in (-\infty; +\infty)$.

3. Равенство может быть верным только для тех значений $a$, которые входят в область определения обеих его частей. Найдем пересечение областей определения: $[0, +\infty) \cap (-\infty, +\infty) = [0, +\infty)$. Это означает, что равенство может быть верным только при $a \ge 0$.

4. По определению степени с рациональным показателем, для любого неотрицательного числа $a$ и любого рационального числа $r = \frac{m}{n}$ (где $m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}$) справедливо равенство $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. В нашем случае $m=3$ и $n=5$, а $a \ge 0$. Следовательно, равенство $a^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{a^3}$ является верным по определению для всех $a \ge 0$.

Ответ: Равенство верно при $a \ge 0$.