Страница 39 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

1. От чего зависит число значений корня $n$-й степени? Ответ обоснуйте.

2. Почему не существует корень четной степени из отрицательного числа? Ответ обоснуйте.

1. От чего зависит число значений корня n-й степени? Ответ обоснуйте.

Число действительных значений корня $n$-й степени из числа $a$ (обозначается как $\sqrt[n]{a}$) зависит от двух факторов: четности показателя корня $n$ и знака подкоренного выражения $a$.

Обоснование:

Нахождение корня $n$-й степени из числа $a$ равносильно решению уравнения $x^n = a$. Количество действительных корней этого уравнения зависит от $n$ и $a$.

Если показатель корня $n$ — нечетное число ($n = 2k+1$, где $k \in \mathbb{N}$):
Функция $y = x^n$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Это означает, что для любого действительного числа $a$ (положительного, отрицательного или равного нулю) уравнение $x^n = a$ всегда будет иметь ровно один действительный корень.
Пример: $\sqrt[3]{27} = 3$; $\sqrt[3]{-27} = -3$; $\sqrt[5]{0} = 0$.

Если показатель корня $n$ — четное число ($n = 2k$, где $k \in \mathbb{N}$):
Функция $y = x^n$ принимает только неотрицательные значения ($y \ge 0$). Поэтому количество корней зависит от знака числа $a$:

- Если $a > 0$ (положительное число), уравнение $x^n = a$ имеет два действительных корня, которые являются противоположными числами: $\sqrt[n]{a}$ и $-\sqrt[n]{a}$.
Пример: уравнение $x^4 = 81$ имеет два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

- Если $a = 0$, уравнение $x^n = 0$ имеет один действительный корень: $x = 0$.

- Если $a < 0$ (отрицательное число), уравнение $x^n = a$ не имеет действительных корней, так как любое действительное число в четной степени неотрицательно.

Ответ: Число действительных значений корня n-й степени зависит от четности показателя корня $n$ и знака подкоренного числа $a$.

2. Почему не существует корень четной степени из отрицательного числа? Ответ обоснуйте.

В области действительных чисел корень четной степени из отрицательного числа не существует, потому что результат возведения любого действительного числа в четную степень всегда является неотрицательным числом.

Обоснование:

По определению, корень $n$-й степени из числа $a$ — это такое число $x$, что $x^n = a$.

Рассмотрим корень четной степени, то есть $n$ является четным числом ($n = 2k$, где $k$ — натуральное число). Мы ищем корень из отрицательного числа $a$, то есть $a < 0$.

Таким образом, мы пытаемся найти действительное число $x$, удовлетворяющее уравнению: $x^{2k} = a$, где $a < 0$.

Проанализируем левую часть уравнения, $x^{2k}$, для любого действительного числа $x$:

- Если $x$ — положительное число ($x > 0$), то $x^{2k}$ также будет положительным числом.
- Если $x$ — отрицательное число ($x < 0$), его можно представить как $x = -b$, где $b > 0$. Тогда $x^{2k} = (-b)^{2k} = (-1)^{2k} \cdot b^{2k} = 1 \cdot b^{2k} = b^{2k}$. Поскольку $b^{2k} > 0$, то и $x^{2k} > 0$.
- Если $x = 0$, то $x^{2k} = 0^{2k} = 0$.

Во всех случаях для любого действительного числа $x$ результат возведения его в четную степень $2k$ является неотрицательным числом: $x^{2k} \ge 0$.

Следовательно, уравнение $x^{2k} = a$ не может иметь решения в действительных числах, если $a < 0$, так как его левая часть всегда неотрицательна ($ \ge 0$), а правая — строго отрицательна ($ < 0$). Это является противоречием.

Ответ: Не существует такого действительного числа, которое при возведении в четную степень дало бы в результате отрицательное число. Поэтому в множестве действительных чисел корень четной степени из отрицательного числа не определен.