Страница 50 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

❓ 1. Есть ли отличие в преобразованиях рациональных и иррациональных выражений?

1. Есть ли отличие в преобразованиях рациональных и иррациональных выражений?

Да, между преобразованиями рациональных и иррациональных выражений существуют существенные отличия. Хотя оба типа выражений подчиняются общим законам алгебры (таким как распределительный, сочетательный и переместительный), работа с иррациональными выражениями требует применения специфических методов и более тщательного анализа области допустимых значений (ОДЗ).

Ключевые отличия можно свести к двум основным пунктам:

А. Специфические методы преобразований

Преобразования рациональных выражений (алгебраических дробей, где числитель и знаменатель — многочлены, например, $ \frac{x^2-4}{x+3} $) в основном включают:

• Разложение многочленов на множители с последующим сокращением дроби.
• Приведение дробей к общему знаменателю для выполнения сложения и вычитания.
• Выполнение умножения и деления дробей.

Преобразования иррациональных выражений (содержащих переменную под знаком корня, например, $ \sqrt{x-5} $) включают все вышеперечисленные методы, но к ним добавляются уникальные, характерные только для них операции:

• Избавление от иррациональности в знаменателе (или числителе). Это одна из наиболее частых и важных операций. Она заключается в домножении числителя и знаменателя на такое выражение (часто сопряженное), чтобы в знаменателе исчез знак корня.
  Например: $ \frac{5}{\sqrt{a}- \sqrt{b}} = \frac{5(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{5(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b} $
• Вынесение множителя из-под знака корня и внесение множителя под знак корня.
  Например: $ \sqrt{18x^3} = \sqrt{9 \cdot 2 \cdot x^2 \cdot x} = 3|x|\sqrt{2x} $ при $ x \ge 0 $.
• Использование свойств корней и степеней с дробными показателями, например, приведение корней к одному показателю для их умножения или сравнения.

Б. Область допустимых значений (ОДЗ)

Это второе фундаментальное отличие.

• В рациональных выражениях ОДЗ определяется одним главным условием: знаменатель дроби не должен обращаться в нуль. Это приводит к исключению из ОДЗ отдельных точек.
  Например, для выражения $ \frac{x+2}{x-7} $ ОДЗ: $ x-7 \neq 0 \implies x \neq 7 $.
• В иррациональных выражениях, содержащих корень четной степени (квадратный, четвертой и т.д.), появляется более строгое ограничение: подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это часто задает ОДЗ в виде целого промежутка (луча или отрезка).
  Например, для выражения $ \sqrt{x-7} $ ОДЗ определяется неравенством $ x-7 \ge 0 \implies x \ge 7 $. Если же корень находится в знаменателе, как в дроби $ \frac{1}{\sqrt{x-7}} $, то условие становится строгим: $ x-7 > 0 \implies x > 7 $.

Таким образом, работа с иррациональными выражениями требует не только знания стандартных алгебраических преобразований, но и уверенного владения свойствами корней, а также постоянного контроля за областью допустимых значений, которая определяется более сложными условиями.

Ответ: Да, отличия есть. Они заключаются как в наборе специфических методов преобразования (для иррациональных выражений характерно избавление от иррациональности, вынесение множителя из-под корня и т.д.), так и в принципиально разных подходах к нахождению области допустимых значений (ОДЗ), которая для иррациональных выражений с корнями четной степени определяется неравенствами, а не только точечными исключениями, как для рациональных.

106. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[3]{20 + \sqrt{57}} \cdot \sqrt[3]{20 - \sqrt{57}};

2) $\sqrt[4]{10 - \sqrt{19}} \cdot \sqrt[4]{10 + \sqrt{19}};

3) $\sqrt[4]{9 - \sqrt{65}} \cdot \sqrt[4]{9 + \sqrt{65}};

4) $- \frac{\sqrt[3]{(4 + \sqrt{17})^2}}{\sqrt[3]{4 - \sqrt{17}}} - \sqrt{17}.

1) Для решения используем свойство корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$ и формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.
$\sqrt[3]{20 + \sqrt{57}} \cdot \sqrt[3]{20 - \sqrt{57}} = \sqrt[3]{(20 + \sqrt{57})(20 - \sqrt{57})} = \sqrt[3]{20^2 - (\sqrt{57})^2} = \sqrt[3]{400 - 57} = \sqrt[3]{343} = 7$.
Ответ: 7.

2) Применяем свойство произведения корней одинаковой степени и формулу разности квадратов.
$\sqrt[4]{10 - \sqrt{19}} \cdot \sqrt[4]{10 + \sqrt{19}} = \sqrt[4]{(10 - \sqrt{19})(10 + \sqrt{19})} = \sqrt[4]{10^2 - (\sqrt{19})^2} = \sqrt[4]{100 - 19} = \sqrt[4]{81} = 3$.
Ответ: 3.

3) Аналогично предыдущим пунктам, используем свойство корней и формулу разности квадратов.
$\sqrt[4]{9 - \sqrt{65}} \cdot \sqrt[4]{9 + \sqrt{65}} = \sqrt[4]{(9 - \sqrt{65})(9 + \sqrt{65})} = \sqrt[4]{9^2 - (\sqrt{65})^2} = \sqrt[4]{81 - 65} = \sqrt[4]{16} = 2$.
Ответ: 2.

4) Сначала упростим выражение под знаком кубического корня. Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(4 + \sqrt{17})$.
$\frac{(4 + \sqrt{17})^2}{4 - \sqrt{17}} = \frac{(4 + \sqrt{17})^2 (4 + \sqrt{17})}{(4 - \sqrt{17})(4 + \sqrt{17})} = \frac{(4 + \sqrt{17})^3}{4^2 - (\sqrt{17})^2} = \frac{(4 + \sqrt{17})^3}{16 - 17} = \frac{(4 + \sqrt{17})^3}{-1} = -(4 + \sqrt{17})^3$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$-\sqrt[3]{-(4 + \sqrt{17})^3} - \sqrt{17} = -(-(4 + \sqrt{17})) - \sqrt{17} = (4 + \sqrt{17}) - \sqrt{17} = 4 + \sqrt{17} - \sqrt{17} = 4$.
Ответ: 4.

Вычислите (107–109):

107.1) $3\sqrt{8} - 5\sqrt{18} + 12\sqrt{50}$;

2) $(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt[4]{225}$;

3) $(2\sqrt{2}-3)^2 \cdot \sqrt[6]{8}$;

4) $\sqrt[3]{5-\sqrt{17}} \cdot \sqrt[3]{17+5}$.

107.1)
Решение:
Чтобы вычислить значение выражения, сначала упростим каждый из корней, вынеся множитель из-под знака корня. Для этого представим подкоренные выражения в виде произведения, где один из множителей является полным квадратом.
$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4}\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9}\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$
$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25}\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$
Теперь подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение:
$3\sqrt{8} - 5\sqrt{18} + 12\sqrt{50} = 3 \cdot (2\sqrt{2}) - 5 \cdot (3\sqrt{2}) + 12 \cdot (5\sqrt{2})$
Выполним умножение:
$6\sqrt{2} - 15\sqrt{2} + 60\sqrt{2}$
Все слагаемые содержат общий множитель $\sqrt{2}$, поэтому мы можем сложить их коэффициенты:
$(6 - 15 + 60)\sqrt{2} = (-9 + 60)\sqrt{2} = 51\sqrt{2}$
Ответ: $51\sqrt{2}$.

2) Решение:
Для вычисления значения данного выражения решим его по частям. Сначала раскроем скобки, используя формулу сокращенного умножения для квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15}$
Далее упростим второй множитель $\sqrt[4]{225}$. Заметим, что $225 = 15^2$. Используем свойство корня $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:
$\sqrt[4]{225} = \sqrt[4]{15^2} = 15^{\frac{2}{4}} = 15^{\frac{1}{2}} = \sqrt{15}$
Теперь перемножим полученные выражения:
$(8 - 2\sqrt{15}) \cdot \sqrt{15}$
Раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на $\sqrt{15}$:
$8 \cdot \sqrt{15} - 2\sqrt{15} \cdot \sqrt{15} = 8\sqrt{15} - 2 \cdot 15 = 8\sqrt{15} - 30$
Ответ: $8\sqrt{15} - 30$.

3) Решение:
Вычислим значение выражения по шагам. Сначала возведем в квадрат выражение в скобках, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(2\sqrt{2}-3)^2 = (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 3 + 3^2 = (4 \cdot 2) - 12\sqrt{2} + 9 = 8 - 12\sqrt{2} + 9 = 17 - 12\sqrt{2}$
Затем упростим второй множитель $\sqrt[6]{8}$. Представим число 8 в виде степени $2^3$ и воспользуемся свойством корня $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:
$\sqrt[6]{8} = \sqrt[6]{2^3} = 2^{\frac{3}{6}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$
Теперь перемножим полученные результаты:
$(17 - 12\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}$
Раскроем скобки:
$17 \cdot \sqrt{2} - 12\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 17\sqrt{2} - 12 \cdot 2 = 17\sqrt{2} - 24$
Ответ: $17\sqrt{2} - 24$.

4) Решение:
Для вычисления произведения воспользуемся свойством корней одинаковой степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.
$\sqrt[3]{5-\sqrt{17}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{17}+5} = \sqrt[3]{(5-\sqrt{17})(5+\sqrt{17})}$
Выражение под знаком кубического корня представляет собой произведение разности и суммы двух чисел. Применим формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. В данном случае $a=5$ и $b=\sqrt{17}$.
$(5-\sqrt{17})(5+\sqrt{17}) = 5^2 - (\sqrt{17})^2 = 25 - 17 = 8$
Подставим полученное значение обратно под знак корня:
$\sqrt[3]{8}$
Кубический корень из 8 равен 2, так как $2^3 = 8$.
$\sqrt[3]{8} = 2$
Ответ: $2$.