Номер 106, страница 50 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

106. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[3]{20 + \sqrt{57}} \cdot \sqrt[3]{20 - \sqrt{57}};

2) $\sqrt[4]{10 - \sqrt{19}} \cdot \sqrt[4]{10 + \sqrt{19}};

3) $\sqrt[4]{9 - \sqrt{65}} \cdot \sqrt[4]{9 + \sqrt{65}};

4) $- \frac{\sqrt[3]{(4 + \sqrt{17})^2}}{\sqrt[3]{4 - \sqrt{17}}} - \sqrt{17}.

1) Для решения используем свойство корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$ и формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.
$\sqrt[3]{20 + \sqrt{57}} \cdot \sqrt[3]{20 - \sqrt{57}} = \sqrt[3]{(20 + \sqrt{57})(20 - \sqrt{57})} = \sqrt[3]{20^2 - (\sqrt{57})^2} = \sqrt[3]{400 - 57} = \sqrt[3]{343} = 7$.
Ответ: 7.

2) Применяем свойство произведения корней одинаковой степени и формулу разности квадратов.
$\sqrt[4]{10 - \sqrt{19}} \cdot \sqrt[4]{10 + \sqrt{19}} = \sqrt[4]{(10 - \sqrt{19})(10 + \sqrt{19})} = \sqrt[4]{10^2 - (\sqrt{19})^2} = \sqrt[4]{100 - 19} = \sqrt[4]{81} = 3$.
Ответ: 3.

3) Аналогично предыдущим пунктам, используем свойство корней и формулу разности квадратов.
$\sqrt[4]{9 - \sqrt{65}} \cdot \sqrt[4]{9 + \sqrt{65}} = \sqrt[4]{(9 - \sqrt{65})(9 + \sqrt{65})} = \sqrt[4]{9^2 - (\sqrt{65})^2} = \sqrt[4]{81 - 65} = \sqrt[4]{16} = 2$.
Ответ: 2.

4) Сначала упростим выражение под знаком кубического корня. Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(4 + \sqrt{17})$.
$\frac{(4 + \sqrt{17})^2}{4 - \sqrt{17}} = \frac{(4 + \sqrt{17})^2 (4 + \sqrt{17})}{(4 - \sqrt{17})(4 + \sqrt{17})} = \frac{(4 + \sqrt{17})^3}{4^2 - (\sqrt{17})^2} = \frac{(4 + \sqrt{17})^3}{16 - 17} = \frac{(4 + \sqrt{17})^3}{-1} = -(4 + \sqrt{17})^3$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$-\sqrt[3]{-(4 + \sqrt{17})^3} - \sqrt{17} = -(-(4 + \sqrt{17})) - \sqrt{17} = (4 + \sqrt{17}) - \sqrt{17} = 4 + \sqrt{17} - \sqrt{17} = 4$.
Ответ: 4.