Номер 111, страница 51 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Упростите (111-112):

111.1) $(\frac{1}{\sqrt[4]{a}-1} - \frac{\sqrt[4]{a}+1}{\sqrt{a}}) \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt[4]{a}-1};$

2) $\frac{x-1}{\sqrt{x}+1} : \frac{\sqrt[3]{x}+1}{\sqrt[3]{x^2}-1} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}-1} + \sqrt{x};$

3) $(\frac{1}{a+\sqrt{a}\sqrt{b}} + \frac{1}{a-\sqrt{a}\sqrt{b}}) \cdot \frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2};$

4) $\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}} : \frac{1}{x^2-\sqrt{x}} \cdot$

1)

Решение:

Упростим выражение по действиям. Сначала выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $\sqrt{a}(\sqrt[4]{a}-1)$:

$\left(\frac{1}{\sqrt[4]{a}-1} - \frac{\sqrt[4]{a}+1}{\sqrt{a}}\right) = \frac{1 \cdot \sqrt{a}}{(\sqrt[4]{a}-1)\sqrt{a}} - \frac{(\sqrt[4]{a}+1)(\sqrt[4]{a}-1)}{\sqrt{a}(\sqrt[4]{a}-1)}$

В числителе второй дроби применим формулу разности квадратов $(\sqrt[4]{a}+1)(\sqrt[4]{a}-1) = (\sqrt[4]{a})^2 - 1^2 = \sqrt{a}-1$. Тогда выражение в скобках примет вид:

$\frac{\sqrt{a} - (\sqrt{a}-1)}{\sqrt{a}(\sqrt[4]{a}-1)} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{a} + 1}{\sqrt{a}(\sqrt[4]{a}-1)} = \frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt[4]{a}-1)}$

Теперь умножим полученный результат на вторую часть исходного выражения:

$\frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt[4]{a}-1)} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt[4]{a}-1} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt[4]{a}-1)^2}$

Сократим дробь на $\sqrt{a}$:

$\frac{1}{(\sqrt[4]{a}-1)^2}$

Ответ: $\frac{1}{(\sqrt[4]{a}-1)^2}$.

2)

Решение:

Упростим выражение по действиям, соблюдая их порядок: деление и умножение слева направо, затем сложение.

1. Упростим первую дробь $\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}$. Применим в числителе формулу разности квадратов $x-1 = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$:

$\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}+1} = \sqrt{x}-1$

2. Теперь выполним деление: $(\sqrt{x}-1) : \frac{\sqrt[3]{x}+1}{\sqrt[3]{x^2}-1}$. Заменим деление умножением на обратную дробь:

$(\sqrt{x}-1) \cdot \frac{\sqrt[3]{x^2}-1}{\sqrt[3]{x}+1}$

Упростим вторую дробь, разложив ее числитель по формуле разности квадратов $\sqrt[3]{x^2}-1 = (\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt[3]{x}+1)$:

$(\sqrt{x}-1) \cdot \frac{(\sqrt[3]{x}-1)(\sqrt[3]{x}+1)}{\sqrt[3]{x}+1} = (\sqrt{x}-1)(\sqrt[3]{x}-1)$

3. Умножим полученное выражение на следующую дробь $\frac{1}{\sqrt[3]{x}-1}$:

$(\sqrt{x}-1)(\sqrt[3]{x}-1) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}-1}$

Сократив $(\sqrt[3]{x}-1)$, получим $\sqrt{x}-1$.

4. Наконец, выполним сложение с последним членом выражения:

$(\sqrt{x}-1) + \sqrt{x} = 2\sqrt{x}-1$

Ответ: $2\sqrt{x}-1$.

3)

Решение:

Упростим каждый из сомножителей по отдельности.

1. Рассмотрим выражение в скобках: $\left(\frac{1}{a+\sqrt{ab}} + \frac{1}{a-\sqrt{ab}}\right)$. Приведем дроби к общему знаменателю. Для этого сначала вынесем общий множитель в знаменателях: $a+\sqrt{ab} = \sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$ и $a-\sqrt{ab} = \sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})$.

Общий знаменатель: $\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = \sqrt{a}(a-b)$.

$\frac{1 \cdot (\sqrt{a}-\sqrt{b}) + 1 \cdot (\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}(a-b)} = \frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}(a-b)} = \frac{2}{a-b}$

2. Упростим второй сомножитель: $\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$. Используем формулу разности кубов $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a^2+ab+b^2} = a-b$

3. Перемножим полученные упрощенные выражения:

$\frac{2}{a-b} \cdot (a-b) = 2$

Ответ: $2$.

4)

Решение:

Для упрощения выражения выполним деление. Сначала преобразуем делимое и делитель.

1. Делимое: $\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}$. В знаменателе вынесем за скобки $\sqrt{x}$:

$\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(x+\sqrt{x}+1)}$

2. Делитель: $\frac{1}{x^2-\sqrt{x}}$. Операция деления эквивалентна умножению на обратную дробь, то есть на $x^2-\sqrt{x}$. Разложим это выражение на множители:

$x^2-\sqrt{x} = \sqrt{x} \cdot x\sqrt{x} - \sqrt{x} = \sqrt{x}(x\sqrt{x}-1) = \sqrt{x}((\sqrt{x})^3-1)$

Применим формулу разности кубов к выражению $(\sqrt{x})^3-1^3$:

$\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)((\sqrt{x})^2+\sqrt{x} \cdot 1+1^2) = \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)$

3. Теперь выполним деление, умножив преобразованное делимое на преобразованный делитель:

$\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(x+\sqrt{x}+1)} \cdot \left( \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1) \right)$

Сокращаем общие множители $\sqrt{x}$ и $(x+\sqrt{x}+1)$ в числителе и знаменателе:

$(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)$

По формуле разности квадратов получаем:

$(\sqrt{x})^2 - 1^2 = x-1$

Ответ: $x-1$.