Номер 108, страница 51 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

108. 1) $\sqrt[3]{7 - \sqrt{22}} \cdot \sqrt[3]{7 + \sqrt{22}};$

2) $\frac{1}{4 + 2\sqrt{3}} + \frac{1}{4 - 2\sqrt{3}};$

3) $\frac{3}{6 - 2\sqrt{6}} + \frac{3}{6 + 2\sqrt{6}};$

4) $\sqrt{3} + 2 + \frac{1}{2 + \sqrt{3}}.$

1) $\sqrt[3]{7-\sqrt{22}} \cdot \sqrt[3]{7+\sqrt{22}}$

Решение:

Воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[3]{7-\sqrt{22}} \cdot \sqrt[3]{7+\sqrt{22}} = \sqrt[3]{(7-\sqrt{22})(7+\sqrt{22})}$

Выражение в скобках под корнем является разностью квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=7$ и $b=\sqrt{22}$.

$(7-\sqrt{22})(7+\sqrt{22}) = 7^2 - (\sqrt{22})^2 = 49 - 22 = 27$.

Таким образом, исходное выражение равно:

$\sqrt[3]{27} = 3$.

Ответ: 3.

2) $\frac{1}{4+2\sqrt{3}} + \frac{1}{4-2\sqrt{3}}$

Решение:

Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей дробей:

$(4+2\sqrt{3})(4-2\sqrt{3})$

Это формула разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=4$ и $b=2\sqrt{3}$.

$(4+2\sqrt{3})(4-2\sqrt{3}) = 4^2 - (2\sqrt{3})^2 = 16 - (4 \cdot 3) = 16 - 12 = 4$.

Теперь сложим дроби:

$\frac{1 \cdot (4-2\sqrt{3})}{(4+2\sqrt{3})(4-2\sqrt{3})} + \frac{1 \cdot (4+2\sqrt{3})}{(4-2\sqrt{3})(4+2\sqrt{3})} = \frac{4-2\sqrt{3} + 4+2\sqrt{3}}{4}$

Упростим числитель:

$4-2\sqrt{3} + 4+2\sqrt{3} = 8$.

Получаем:

$\frac{8}{4} = 2$.

Ответ: 2.

3) $\frac{3}{6-2\sqrt{6}} + \frac{3}{6+2\sqrt{6}}$

Решение:

Приведем дроби к общему знаменателю $(6-2\sqrt{6})(6+2\sqrt{6})$.

Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=6$ и $b=2\sqrt{6}$.

$(6-2\sqrt{6})(6+2\sqrt{6}) = 6^2 - (2\sqrt{6})^2 = 36 - (4 \cdot 6) = 36 - 24 = 12$.

Теперь выполним сложение дробей:

$\frac{3(6+2\sqrt{6})}{(6-2\sqrt{6})(6+2\sqrt{6})} + \frac{3(6-2\sqrt{6})}{(6-2\sqrt{6})(6+2\sqrt{6})} = \frac{3(6+2\sqrt{6}) + 3(6-2\sqrt{6})}{12}$

Вынесем общий множитель 3 в числителе:

$\frac{3(6+2\sqrt{6} + 6-2\sqrt{6})}{12} = \frac{3(12)}{12}$

Сокращаем 12:

$\frac{3 \cdot 12}{12} = 3$.

Ответ: 3.

4) $\sqrt{3} + 2 + \frac{1}{2+\sqrt{3}}$

Решение:

Сначала упростим дробь $\frac{1}{2+\sqrt{3}}$, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $2-\sqrt{3}$:

$\frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$

Знаменатель представляет собой разность квадратов:

$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.

Таким образом, дробь равна:

$\frac{2-\sqrt{3}}{1} = 2-\sqrt{3}$.

Теперь подставим упрощенное значение дроби в исходное выражение:

$\sqrt{3} + 2 + (2-\sqrt{3}) = \sqrt{3} + 2 + 2 - \sqrt{3}$.

Приведем подобные слагаемые:

$(\sqrt{3} - \sqrt{3}) + (2+2) = 0 + 4 = 4$.

Ответ: 4.