Вопросы, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

1. Почему при решении иррациональных уравнений появляются посторонние корни?

2. Обязательно ли проводить проверку для корней иррационального уравнения? Ответ обоснуйте.

3. Как определяются посторонние корни иррационального уравнения в случае, когда известно множество допустимых значений?

1. Почему при решении иррациональных уравнений появляются посторонние корни?

Посторонние корни при решении иррациональных уравнений появляются из-за использования неэквивалентных (неравносильных) преобразований. Основным таким преобразованием является возведение обеих частей уравнения в чётную степень (например, в квадрат).

Рассмотрим уравнение вида $f(x) = g(x)$. Если мы возводим его в квадрат, мы получаем уравнение $f^2(x) = g^2(x)$. Любой корень первого уравнения будет являться корнем второго, но не наоборот. Уравнение $f^2(x) = g^2(x)$ равносильно совокупности двух уравнений: $f(x) = g(x)$ и $f(x) = -g(x)$. Таким образом, при решении уравнения-следствия $f^2(x) = g^2(x)$ мы можем найти не только корни исходного уравнения, но и корни уравнения $f(x) = -g(x)$, которые для исходного уравнения будут посторонними.

Особенно это важно для уравнений вида $\sqrt[2n]{A(x)} = B(x)$. По определению арифметического корня, его значение не может быть отрицательным, поэтому для такого уравнения должно выполняться условие $B(x) \ge 0$. Когда мы возводим обе части в степень $2n$, мы получаем $A(x) = (B(x))^{2n}$. В этом новом уравнении правая часть $(B(x))^{2n}$ всегда неотрицательна, и условие $B(x) \ge 0$ "теряется". В итоге могут появиться корни, для которых $B(x) < 0$.

Пример: Решим уравнение $\sqrt{x+2} = x$.

Возведем обе части в квадрат: $x+2 = x^2$.

Перенесем все члены в одну сторону: $x^2 - x - 2 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Теперь выполним проверку:

• При $x=2$: $\sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$. Правая часть: $x=2$. Получаем верное равенство $2=2$. Значит, $x=2$ — корень уравнения.
• При $x=-1$: $\sqrt{-1+2} = \sqrt{1} = 1$. Правая часть: $x=-1$. Получаем неверное равенство $1=-1$. Значит, $x=-1$ — посторонний корень.

Посторонний корень $x=-1$ появился, так как он нарушает условие неотрицательности правой части исходного уравнения ($x \ge 0$).

Ответ: Посторонние корни появляются из-за применения неэквивалентных преобразований, в первую очередь — возведения обеих частей уравнения в чётную степень. Это преобразование расширяет множество решений, добавляя корни, которые не удовлетворяют исходному уравнению.

2. Обязательно ли проводить проверку для корней иррационального уравнения? Ответ обоснуйте.

Да, обязательно. Проверка является неотъемлемой частью решения иррационального уравнения.

Обоснование: Как показано в ответе на первый вопрос, основной метод решения иррациональных уравнений — возведение в чётную степень — приводит к уравнению-следствию, которое может иметь больше корней, чем исходное. Эти "лишние" корни называются посторонними. Без проверки невозможно отделить действительные корни от посторонних. Таким образом, отказ от проверки может привести к неверному ответу.

Существует два основных способа проверки:

1. Непосредственная подстановка. Найденные потенциальные корни подставляются в самое начальное, исходное уравнение. Те значения, которые обращают уравнение в верное числовое равенство, являются корнями.
2. Проверка с помощью области допустимых значений (ОДЗ) и других ограничений. Перед решением или после него находятся все условия, которым должен удовлетворять корень (например, подкоренные выражения должны быть неотрицательны, правая часть уравнения вида $\sqrt{f(x)}=g(x)$ должна быть неотрицательна). Затем проверяется, удовлетворяют ли найденные потенциальные корни этим условиям. Те, что не удовлетворяют, отбрасываются как посторонние.

В любом случае, какой-либо из видов проверки должен быть выполнен, чтобы гарантировать правильность решения.

Ответ: Да, проверку проводить обязательно. Это необходимо, так как методы решения иррациональных уравнений (в частности, возведение в чётную степень) могут приводить к появлению посторонних корней, которые нужно отсеять.

3. Как определяются посторонние корни иррационального уравнения в случае, когда известно множество допустимых значений?

Если множество допустимых значений (ОДЗ) для иррационального уравнения уже определено, его используют для отсеивания посторонних корней. ОДЗ — это множество всех значений переменной, при которых все выражения, входящие в уравнение, имеют смысл. Для иррациональных уравнений это, в первую очередь, условие неотрицательности подкоренных выражений для корней чётной степени.

Алгоритм определения посторонних корней с использованием ОДЗ выглядит так:

1. Найти ОДЗ, решив систему неравенств, вытекающих из условий существования всех выражений в уравнении (например, $f(x) \ge 0$ для каждого выражения вида $\sqrt[2n]{f(x)}$).
2. Решить иррациональное уравнение с помощью преобразований (например, возведением в степень) и найти все его потенциальные корни.
3. Проверить каждый из найденных потенциальных корней на принадлежность к ОДЗ.
4. Те корни, которые принадлежат ОДЗ, являются действительными решениями уравнения. Те корни, которые не принадлежат ОДЗ, являются посторонними и отбрасываются.

Важно отметить, что иногда одного лишь ОДЗ недостаточно. Например, для уравнения $\sqrt{f(x)} = g(x)$ ОДЗ определяется условием $f(x) \ge 0$. Но, как упоминалось ранее, есть еще одно важное условие: $g(x) \ge 0$. Поэтому для отсеивания посторонних корней нужно проверять выполнение всех необходимых условий, а не только формального ОДЗ.

Пример: $\sqrt{x^2-9}=x-4$.

1. Находим ОДЗ: $x^2-9 \ge 0 \implies (x-3)(x+3) \ge 0$. Решением является $x \in (-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$. Также учтем условие $x-4 \ge 0 \implies x \ge 4$. Объединив условия, получаем итоговое ограничение для корней: $x \ge 4$.

2. Решаем уравнение: возводим в квадрат $x^2-9 = (x-4)^2 \implies x^2-9 = x^2-8x+16$.

$8x = 25 \implies x = \frac{25}{8} = 3.125$.

3. Проверяем корень $x=3.125$ на соответствие ограничению $x \ge 4$.

$3.125 < 4$, следовательно, найденный корень не удовлетворяет условию. Он является посторонним. Уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Посторонние корни определяются путем проверки всех найденных потенциальных решений на принадлежность множеству допустимых значений (ОДЗ) и выполнения других необходимых условий (например, неотрицательности части уравнения). Если корень не удовлетворяет этим условиям, он считается посторонним и исключается из ответа.