Номер 121, страница 58 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Решите уравнения (121–124):

121.1) $\sqrt{(4x + 5)(3x - 2)} = 4x + 5;$ 2) $\sqrt{(3x - 1)(4x + 3)} = 3x - 1;$

3) $\sqrt{x + 1} - \sqrt{9 - x} = \sqrt{2x - 12};$ 4) $\sqrt{x + 3} - \sqrt{2x - 1} = \sqrt{3x - 2}.$

1) $\sqrt{(4x + 5)(3x - 2)} = 4x + 5$

Решение

Данное иррациональное уравнение вида $\sqrt{f(x) \cdot g(x)} = f(x)$ равносильно системе:

$\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ f(x) \cdot g(x) = (f(x))^2 \end{cases}$

В нашем случае $f(x) = 4x + 5$ и $g(x) = 3x - 2$. Система будет выглядеть так:

$\begin{cases} 4x + 5 \ge 0 \\ (4x + 5)(3x - 2) = (4x + 5)^2 \end{cases}$

Решим второе уравнение системы. Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $(4x + 5)$ за скобки:

$(4x + 5)(3x - 2) - (4x + 5)^2 = 0$

$(4x + 5) \cdot ((3x - 2) - (4x + 5)) = 0$

$(4x + 5) \cdot (3x - 2 - 4x - 5) = 0$

$(4x + 5)(-x - 7) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных корня:

$4x + 5 = 0 \implies x = -\frac{5}{4}$

или

$-x - 7 = 0 \implies x = -7$

Теперь необходимо проверить эти корни на соответствие условию $4x + 5 \ge 0$.

1. Проверяем корень $x = -5/4$:

$4 \cdot (-\frac{5}{4}) + 5 = -5 + 5 = 0$. Условие $0 \ge 0$ выполняется. Следовательно, $x = -5/4$ является решением уравнения.

2. Проверяем корень $x = -7$:

$4 \cdot (-7) + 5 = -28 + 5 = -23$. Условие $-23 \ge 0$ не выполняется. Следовательно, $x = -7$ является посторонним корнем.

Таким образом, у уравнения есть только один корень.

Ответ: $-\frac{5}{4}$.

2) $\sqrt{(3x - 1)(4x + 3)} = 3x - 1$

Решение

Это уравнение, аналогично предыдущему, равносильно системе:

$\begin{cases} 3x - 1 \ge 0 \\ (3x - 1)(4x + 3) = (3x - 1)^2 \end{cases}$

Решаем второе уравнение:

$(3x - 1)(4x + 3) - (3x - 1)^2 = 0$

$(3x - 1) \cdot ((4x + 3) - (3x - 1)) = 0$

$(3x - 1) \cdot (4x + 3 - 3x + 1) = 0$

$(3x - 1)(x + 4) = 0$

Возможные корни:

$3x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{3}$

или

$x + 4 = 0 \implies x = -4$

Проверим корни по условию $3x - 1 \ge 0$.

1. Для $x = 1/3$: $3 \cdot \frac{1}{3} - 1 = 1 - 1 = 0$. Условие $0 \ge 0$ выполняется. Корень подходит.

2. Для $x = -4$: $3 \cdot (-4) - 1 = -12 - 1 = -13$. Условие $-13 \ge 0$ не выполняется. Это посторонний корень.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

3) $\sqrt{x + 1} - \sqrt{9 - x} = \sqrt{2x - 12}$

Решение

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:

$\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ 9 - x \ge 0 \\ 2x - 12 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1 \\ x \le 9 \\ x \ge 6 \end{cases}$

Пересечением этих множеств является отрезок $[6, 9]$.

Так как правая часть уравнения неотрицательна, то и левая должна быть неотрицательной: $\sqrt{x+1} - \sqrt{9-x} \ge 0$, что равносильно $\sqrt{x+1} \ge \sqrt{9-x}$. Возведя в квадрат, получим $x+1 \ge 9-x$, откуда $2x \ge 8$, то есть $x \ge 4$. Это условие выполняется для всех $x$ из ОДЗ.

Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x + 1} - \sqrt{9 - x})^2 = (\sqrt{2x - 12})^2$

$(x + 1) - 2\sqrt{(x + 1)(9 - x)} + (9 - x) = 2x - 12$

$10 - 2\sqrt{-x^2 + 8x + 9} = 2x - 12$

Уединим корень:

$22 - 2x = 2\sqrt{-x^2 + 8x + 9}$

$11 - x = \sqrt{-x^2 + 8x + 9}$

На ОДЗ $x \in [6, 9]$ левая часть $11-x$ положительна. Снова возводим в квадрат:

$(11 - x)^2 = -x^2 + 8x + 9$

$121 - 22x + x^2 = -x^2 + 8x + 9$

$2x^2 - 30x + 112 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 - 15x + 56 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = 7$, $x_2 = 8$.

Оба корня, 7 и 8, принадлежат ОДЗ $[6, 9]$. Проведем проверку, подставив их в исходное уравнение.

При $x=7$: $\sqrt{7+1} - \sqrt{9-7} = \sqrt{8} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$. Правая часть: $\sqrt{2(7)-12} = \sqrt{14-12} = \sqrt{2}$. Равенство верно.

При $x=8$: $\sqrt{8+1} - \sqrt{9-8} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3-1 = 2$. Правая часть: $\sqrt{2(8)-12} = \sqrt{16-12} = \sqrt{4} = 2$. Равенство верно.

Оба корня являются решениями.

Ответ: $7; 8$.

4) $\sqrt{x + 3} - \sqrt{2x - 1} = \sqrt{3x - 2}$

Решение

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x + 3 \ge 0 \\ 2x - 1 \ge 0 \\ 3x - 2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge 1/2 \\ x \ge 2/3 \end{cases}$

Общая область: $x \ge 2/3$.

Дополнительное условие: $\sqrt{x+3} - \sqrt{2x-1} \ge 0 \implies x+3 \ge 2x-1 \implies x \le 4$.

Таким образом, решение должно лежать в отрезке $[2/3, 4]$.

Чтобы избежать знаков, перепишем уравнение как $\sqrt{x + 3} = \sqrt{2x - 1} + \sqrt{3x - 2}$ и возведем в квадрат:

$(\sqrt{x + 3})^2 = (\sqrt{2x - 1} + \sqrt{3x - 2})^2$

$x + 3 = (2x - 1) + (3x - 2) + 2\sqrt{(2x - 1)(3x - 2)}$

$x + 3 = 5x - 3 + 2\sqrt{6x^2 - 7x + 2}$

$6 - 4x = 2\sqrt{6x^2 - 7x + 2}$

$3 - 2x = \sqrt{6x^2 - 7x + 2}$

Левая часть должна быть неотрицательной: $3 - 2x \ge 0 \implies 2x \le 3 \implies x \le 3/2$.

С учетом этого, область сужается до $x \in [2/3, 3/2]$. Возводим в квадрат:

$(3 - 2x)^2 = 6x^2 - 7x + 2$

$9 - 12x + 4x^2 = 6x^2 - 7x + 2$

$2x^2 + 5x - 7 = 0$

Сумма коэффициентов $2+5-7=0$, следовательно, один корень $x_1=1$. Второй корень по теореме Виета $x_2 = c/a = -7/2$.

Корень $x_2 = -7/2$ не входит в отрезок $[2/3, 3/2]$.

Корень $x_1 = 1$ входит в отрезок $[2/3, 3/2]$.

Проверка для $x=1$: $\sqrt{1+3} - \sqrt{2(1)-1} = \sqrt{4} - \sqrt{1} = 2-1 = 1$. Правая часть: $\sqrt{3(1)-2} = \sqrt{1} = 1$. Верно.

Ответ: $1$.